A velocidade de uma partícula movendo-se ao longo de uma linha reta é dada por , em que é dado em segundos. Se quando , determine a desaceleração e a posição da partícula quando . Qual foi a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo de 3 s , e qual é sua velocidade escalar média?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move em linha reta e a velocidade dela é dada por metros por segundo, onde é o tempo em segundos. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar a desaceleração e a posição, e também calcular a distância percorrida e a velocidade média.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Como queremos a desaceleração, que é a aceleração negativa, vamos calcular essa derivada.
A velocidade é . A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a desaceleração no instante segundos. Substituindo na expressão da aceleração:
Então, a desaceleração é de no tempo de 3 segundos.

Passo 4

Para encontrar a posição da partícula no tempo segundos, precisamos integrar a função da velocidade em relação ao tempo. A posição é a integral de :
Integrando termo a termo:
Como sabemos que quando , podemos encontrar a constante :
Então, a posição é:
Agora, substituindo :
A posição da partícula no instante de 3 segundos é metros.

Passo 5

Para encontrar a distância percorrida durante os 3 segundos, vamos observar o movimento da partícula. A posição final é a mesma que a inicial ( metros), mas isso não significa que a distância percorrida seja zero. Precisamos verificar se a partícula mudou de direção.
Vamos encontrar quando a velocidade :
Isso significa que a partícula para durante 2 segundos e muda de direção. Vamos calcular a posição nos instantes , e :
A distância percorrida é a soma dos deslocamentos absolutos:
â

Passo 6

Por fim, vamos calcular a velocidade escalar média durante os 3 segundos. A velocidade média é a distância total percorrida dividida pelo tempo total:
éâ

Resposta

A desaceleração da partícula em segundos é . Sua posição nesse instante é metros. A distância percorrida durante os 3 segundos é de 8 metros, e a velocidade escalar média é aproximadamente .

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