A velocidade de uma partícula movendo-se ao longo de uma linha reta é dada por v=(6 t-3 t^2) m / s, em que t é dado em segundos. Se s=0 quando t=0, determine a desaceleração e a posição da partícula quando t=3 s. Qual foi a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo de 3 s , e qual é sua velocidade escalar média?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move em linha reta e a velocidade dela é dada por metros por segundo, onde é o tempo em segundos. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar a desaceleração e a posição, e também calcular a distância percorrida e a velocidade média.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Como queremos a desaceleração, que é a aceleração negativa, vamos calcular essa derivada.
A velocidade é a = dvdt = 6 - 6t . A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a desaceleração no instante a = 6 - 6(3) = 6 - 18 = -12 , m/s^2 segundos. Substituindo na expressão da aceleração:
Então, a desaceleração é de no tempo de 3 segundos.

Passo 4

Para encontrar a posição da partícula no tempo s(t) = integral v(t) , dt = integral (6t - 3t^2) , dt segundos, precisamos integrar a função da velocidade em relação ao tempo. A posição s(t) = 3t^2 - t^3 + C é a integral de 0 = 3(0)^2 - (0)^3 + C Rightarrow C = 0 :
s(t) = 3t^2 - t^3
Integrando termo a termo:
s(3) = 3(3)^2 - (3)^3 = 3(9) - 27 = 27 - 27 = 0 , m
Como sabemos que quando , podemos encontrar a constante :
Então, a posição é:
Agora, substituindo :
A posição da partícula no instante de 3 segundos é metros.

Passo 5

Para encontrar a distância percorrida durante os 3 segundos, vamos observar o movimento da partícula. A posição final é a mesma que a inicial ( 6t - 3t^2 = 0 Rightarrow 3t(2 - t) = 0 Rightarrow t = 0 , s , ou , t = 2 , s metros), mas isso não significa que a distância percorrida seja zero. Precisamos verificar se a partícula mudou de direção.
Vamos encontrar quando a velocidade s(0) = 0 :
s(2) = 3(2)^2 - (2)^3 = 12 - 8 = 4 , m
Isso significa que a partícula para durante 2 segundos e muda de direção. Vamos calcular a posição nos instantes s(3) = 0 , m , Distância = |s(2) - s(0)| + |s(3) - s(2)| = |4 - 0| + |0 - 4| = 4 + 4 = 8 , m e :
A distância percorrida é a soma dos deslocamentos absolutos:
â

Passo 6

Por fim, vamos calcular a velocidade escalar média durante os 3 segundos. A velocidade média é a distância total percorrida dividida pelo tempo total:
Velocidade Média = Distância PercorridaTempo = 8 , m3 , s approx 2,67 , m/s éâ

Resposta

A desaceleração da partícula em segundos é . Sua posição nesse instante é metros. A distância percorrida durante os 3 segundos é de 8 metros, e a velocidade escalar média é aproximadamente .

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