A velocidade de uma partícula movendo-se ao longo de uma linha reta é dada por
, em que
é dado em segundos. Se
quando
, determine a desaceleração e a posição da partícula quando
. Qual foi a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo de 3 s , e qual é sua velocidade escalar média?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move em linha reta e a velocidade dela é dada por
metros por segundo, onde
é o tempo em segundos. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar a desaceleração e a posição, e também calcular a distância percorrida e a velocidade média.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Como queremos a desaceleração, que é a aceleração negativa, vamos calcular essa derivada.
A velocidade é
. A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a desaceleração no instante
segundos. Substituindo
na expressão da aceleração:
Então, a desaceleração é de
no tempo de 3 segundos.
Passo 4
Para encontrar a posição da partícula no tempo
segundos, precisamos integrar a função da velocidade em relação ao tempo. A posição
é a integral de
:
Integrando termo a termo:
Como sabemos que
quando
, podemos encontrar a constante
:
Então, a posição é:
Agora, substituindo
:
A posição da partícula no instante de 3 segundos é
metros.
Passo 5
Para encontrar a distância percorrida durante os 3 segundos, vamos observar o movimento da partícula. A posição final é a mesma que a inicial (
metros), mas isso não significa que a distância percorrida seja zero. Precisamos verificar se a partícula mudou de direção.
Vamos encontrar quando a velocidade
:
Isso significa que a partícula para durante 2 segundos e muda de direção. Vamos calcular a posição nos instantes
,
e
:
A distância percorrida é a soma dos deslocamentos absolutos:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a velocidade escalar média durante os 3 segundos. A velocidade média é a distância total percorrida dividida pelo tempo total:
Resposta
A desaceleração da partícula em
segundos é
. Sua posição nesse instante é
metros. A distância percorrida durante os 3 segundos é de 8 metros, e a velocidade escalar média é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
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. Trace os gráficos
e
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. Qual é a distância entre os foguetes quando
?
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Uma partícula parte de
e percorre uma linha reta com velocidade
, em que
é dado em segundos. Trace os gráficos
e
para o intervalo de tempo
.