Uma partícula esta em repouso no topo de uma esferera de raio
. Calcule o mínimo valor da velocidade horizontal que deve ser dada à partícula para que ela deixe o hemisfério sem deslizar sobre ele.
(20 pontos)
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula parada no topo de uma esfera com raio
. Queremos descobrir a menor velocidade horizontal que precisamos dar para essa partícula de modo que ela saia da esfera sem escorregar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e leis de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nas forças atuando na partícula quando ela está na esfera. Temos a força gravitacional puxando a partícula para baixo e a força normal da esfera empurrando a partícula para o centro da esfera. Quando a partícula começa a se mover, ela precisa ter uma certa velocidade para que a força centrípeta seja suficiente para mantê-la na trajetória da esfera.
Passo 3
A condição para a partícula perder o contato com a esfera é quando a força normal
se torna zero. Usando a segunda lei de Newton na direção radial, temos:
Quando
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos usar a conservação da energia. No topo da esfera, a energia total �� apenas potencial gravitacional:
Quando a partícula chega em um ponto fazendo um ângulo
com a vertical, ela tem energia potencial e cinética:
Pela conservação da energia:
Substituindo
da equação anterior:
Simplificando:
Passo 5
Agora que sabemos que
, podemos substituir de volta na equação da velocidade:
Resposta
A menor velocidade horizontal que deve ser dada à partícula é:
Exercícios relacionados
A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo
varia com o tempo segundo a relação:
na qual
e
, são constantes. (a) Desenhe o gráfico de
em função de
e diga qual a distância máxima percorrida. (b) Encontre a velocidade instantânea. © Determine a aceleração instantânea. (d) A partícula esta acelerando ou desacelerando?
(20 pontos)
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Suponha que você foi chamado por um advogado para opinar sobre um problema relacionado com a física, surgido em um dos seus casos. A questão seria saber se um motorista excedeu a velocidade limite de
antes de fazer uma parada de emergência com os freios acionados e as rodas deslizando. As marcas dos pneus na estrada, durante a derrapagem, tinham um comprimento de 10 m . O inspetor supôs, razoavelmente, que o retardamento máximo do carro não poderia exceder a aceleraão de un corpo em queda livre e deteve o motorista por excesso de velocidade. Ele ultrapasou o limite de velocidade permitido? Explique.
(20 pontos)
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Move-se o cartão horizontalmente, em trajetória retilínea e com aceleração constante. Determine o valor da menor aceleração do cartão,
, para que a moeda ainda caia dentro do copo quando o cartão for retirado por completo.
a) Qual é o mínimo coeficiente de atrito entre os pneus e a estrada para que os veículos possam fazer a curva sem derrapar?
b) Com este valor de coeficiente de atrito, qual é a maior velocidade com que se pode fazer a curva sem derrapar?
b) Com este valor de coeficiente de atrito, qual é a maior velocidade com que se pode fazer a curva sem derrapar?