Uma partícula esta em repouso no topo de uma esferera de raio R. Calcule o mínimo valor da velocidade horizontal que deve ser dada à partícula para que ela deixe o hemisfério sem deslizar sobre ele.
(20 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula parada no topo de uma esfera com raio . Queremos descobrir a menor velocidade horizontal que precisamos dar para essa partícula de modo que ela saia da esfera sem escorregar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e leis de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas forças atuando na partícula quando ela está na esfera. Temos a força gravitacional puxando a partícula para baixo e a força normal da esfera empurrando a partícula para o centro da esfera. Quando a partícula começa a se mover, ela precisa ter uma certa velocidade para que a força centrípeta seja suficiente para mantê-la na trajetória da esfera.

Passo 3

A condição para a partícula perder o contato com a esfera é quando a força normal N + mg costheta = mv^2R se torna zero. Usando a segunda lei de Newton na direção radial, temos:
mg costheta = mv^2R
Quando v^2 = gR costheta :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos usar a conservação da energia. No topo da esfera, a energia total �� apenas potencial gravitacional:
Einicial = mgh = mgR
Quando a partícula chega em um ponto fazendo um ângulo Efinal = mgR costheta + 12mv^2 com a vertical, ela tem energia potencial e cinética:
mgR = mgR costheta + 12mv^2
Pela conservação da energia:
mgR = mgR costheta + 12m(gR costheta)
Substituindo mgR = mgR costheta + 12mgR costheta da equação anterior:
mgR = 32mgR costheta
Simplificando:
costheta = 23

Passo 5

Agora que sabemos que v^2 = gR costheta = gR (23) , podemos substituir de volta na equação da velocidade:
v = raiz23gR

Resposta

A menor velocidade horizontal que deve ser dada à partícula é:
v = raiz23 , gR

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