Uma partícula esta em repouso no topo de uma esferera de raio
. Calcule o mínimo valor da velocidade horizontal que deve ser dada à partícula para que ela deixe o hemisfério sem deslizar sobre ele.
(20 pontos)
(20 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula parada no topo de uma esfera com raio
. Queremos descobrir a menor velocidade horizontal que precisamos dar para essa partícula de modo que ela saia da esfera sem escorregar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e leis de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nas forças atuando na partícula quando ela está na esfera. Temos a força gravitacional puxando a partícula para baixo e a força normal da esfera empurrando a partícula para o centro da esfera. Quando a partícula começa a se mover, ela precisa ter uma certa velocidade para que a força centrípeta seja suficiente para mantê-la na trajetória da esfera.
Passo 3
A condição para a partícula perder o contato com a esfera é quando a força normal
se torna zero. Usando a segunda lei de Newton na direção radial, temos:
Quando
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos usar a conservação da energia. No topo da esfera, a energia total �� apenas potencial gravitacional:
Quando a partícula chega em um ponto fazendo um ângulo
com a vertical, ela tem energia potencial e cinética:
Pela conservação da energia:
Substituindo
da equação anterior:
Simplificando:
Passo 5
Agora que sabemos que
, podemos substituir de volta na equação da velocidade:
Resposta
A menor velocidade horizontal que deve ser dada à partícula é: