A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo
varia com o tempo segundo a relação:
na qual
e
, são constantes. (a) Desenhe o gráfico de
em função de
e diga qual a distância máxima percorrida. (b) Encontre a velocidade instantânea. © Determine a aceleração instantânea. (d) A partícula esta acelerando ou desacelerando?
(20 pontos)
(20 pontos)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que analisa o movimento de uma partícula ao longo do eixo
com a posição dada por:
Aqui,
e
são constantes positivas. Vamos usar conceitos de Cinemática para desenhar o gráfico da posição em função do tempo, encontrar a velocidade e aceleração instantâneas, e determinar se a partícula está acelerando ou desacelerando.
Passo 2
Parte (a): Desenhar o gráfico de
em função de
e determinar a distância máxima percorrida.
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função
:
Quando
aumenta, o termo
diminui exponencialmente, aproximando-se de 0. Assim, a posição
tende a:
Gráfico:
O gráfico de
vs
será uma curva que começa em
quando
e assintoticamente se aproxima de
conforme
aumenta.
Passo 3
Parte (b): Encontrar a velocidade instantânea.
A velocidade instantânea
é a derivada da posição
em relação ao tempo
:
Derivando
:
Passo 4
Parte ©: Determinar a aceleração instantânea.
A aceleração instantânea
é a derivada da velocidade
em relação ao tempo
:
Derivando
:
Passo 5
Parte (d): Determinar se a partícula está acelerando ou desacelerando.
Observando a expressão da aceleração
, como
e
, temos que
para todo
. Isso significa que a aceleração é negativa, indicando que a partícula está desacelerando.
Resposta
A partícula está desacelerando.