A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo segundo a relação:
x=v0k(1-e^-k t)
na qual v0>0 e k>0, são constantes. (a) Desenhe o gráfico de x em função de t e diga qual a distância máxima percorrida. (b) Encontre a velocidade instantânea. © Determine a aceleração instantânea. (d) A partícula esta acelerando ou desacelerando?
(20 pontos)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que analisa o movimento de uma partícula ao longo do eixo x = v0k(1 - e^-k t) com a posição dada por:
Aqui, e são constantes positivas. Vamos usar conceitos de Cinemática para desenhar o gráfico da posição em função do tempo, encontrar a velocidade e aceleração instantâneas, e determinar se a partícula está acelerando ou desacelerando.

Passo 2

Parte (a): Desenhar o gráfico de x(t) = v0k(1 - e^-k t) em função de xmáx = v0k(1 - 0) = v0k e determinar a distância máxima percorrida.
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função :
Quando aumenta, o termo diminui exponencialmente, aproximando-se de 0. Assim, a posição tende a:
á
Gráfico:
O gráfico de vs será uma curva que começa em quando e assintoticamente se aproxima de á conforme aumenta.

Passo 3

Parte (b): Encontrar a velocidade instantânea.
A velocidade instantânea v(t) = dxdt é a derivada da posição v(t) = ddt[v0k(1 - e^-k t)] = v0k cdot (0 - (-k)e^-k t) = v0 e^-k t em relação ao tempo :
Derivando :

Passo 4

Parte ©: Determinar a aceleração instantânea.
A aceleração instantânea a(t) = dvdt é a derivada da velocidade a(t) = ddt[v0 e^-k t] = v0 cdot (-k) e^-k t = -v0 k e^-k t em relação ao tempo :
Derivando :

Passo 5

Parte (d): Determinar se a partícula está acelerando ou desacelerando.
Observando a expressão da aceleração , como e , temos que para todo . Isso significa que a aceleração é negativa, indicando que a partícula está desacelerando.

Resposta

A partícula está desacelerando.

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