Uma partícula é submetida à ação de uma força cujos componentes são
e
.
b) Calcule o trabalho realizado por esta força sobre uma partícula que se move a partir da origem até o ponto
. A partir desse resultado, escreva a energia potencial
.
b) Calcule o trabalho realizado por esta força sobre uma partícula que se move a partir da origem até o ponto
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma força aplicada a uma partícula, com componentes dadas por:
O conteúdo principal aqui é trabalho realizado por uma força e energia potencial. Para resolver, vamos precisar utilizar conceitos de cálculo vetorial, especialmente trabalho de uma força conservativa e como encontrar a energia potencial associada.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a força dada é conservativa. Uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela entre dois pontos é independente do caminho seguido. Para confirmar isso, vamos calcular as derivadas cruzadas das componentes da força e verificar se elas são iguais.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como todas as derivadas cruzadas são iguais, a força é conservativa.
Passo 4
Como a força é conservativa, podemos encontrar a energia potencial
tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar cada componente para encontrar
.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Portanto:
onde
é uma função arbitrária de
e
.
Passo 6
Agora, vamos usar
para determinar
:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Isso simplifica para:
Portanto:
Integrando em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 7
Finalmente, usamos
para determinar
:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Isso simplifica para:
Portanto:
Integrando em relação a
:
onde
é uma constante.
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão de
:
Podemos escolher
para simplificar.
Resposta
O trabalho realizado pela força ao mover a partícula da origem até o ponto
é igual à diferença de energia potencial:
A energia potencial é dada por: