Uma partícula é submetida à ação de uma força cujos componentes são Fx=a x^3+b x y^2+ c z, Fy=a y^3+b x^2 y e Fz=c x.
b) Calcule o trabalho realizado por esta força sobre uma partícula que se move a partir da origem até o ponto (x0, y0, z0). A partir desse resultado, escreva a energia potencial V(x, y, z).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma força aplicada a uma partícula, com componentes dadas por:
Fx = a x^3 + b x y^2 + c z, Fy = a y^3 + b x^2 y, Fz = c x
O conteúdo principal aqui é trabalho realizado por uma força e energia potencial. Para resolver, vamos precisar utilizar conceitos de cálculo vetorial, especialmente trabalho de uma força conservativa e como encontrar a energia potencial associada.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a força dada é conservativa. Uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela entre dois pontos é independente do caminho seguido. Para confirmar isso, vamos calcular as derivadas cruzadas das componentes da força e verificar se elas são iguais.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial Fxpartial y = 2b x y, partial Fypartial x = 2b x y
partial Fxpartial z = c, partial Fzpartial x = c
partial Fypartial z = 0, partial Fzpartial y = 0
Como todas as derivadas cruzadas são iguais, a força é conservativa.

Passo 4

Como a força é conservativa, podemos encontrar a energia potencial F = -nabla V tal que:
Fx = -partial Vpartial x, Fy = -partial Vpartial y, Fz = -partial Vpartial z
Isso significa que:
Vamos integrar cada componente para encontrar .

Passo 5

Integrando -partial Vpartial x = a x^3 + b x y^2 + c z em relação a V = -integral (a x^3 + b x y^2 + c z) dx = -( a4 x^4 + b2 x^2 y^2 + c z x ) + g(y, z) :
Portanto:
onde é uma função arbitrária de e .

Passo 6

Agora, vamos usar -partial Vpartial y = a y^3 + b x^2 y para determinar -( partialpartial y ( a4 x^4 + b2 x^2 y^2 + c z x ) + partial gpartial y ) = a y^3 + b x^2 y :
-b x^2 y - partial gpartial y = a y^3 + b x^2 y
Calculando a derivada de partial gpartial y = -a y^3 em relação a g(y, z) = -a4 y^4 + h(z) :
Isso simplifica para:
Portanto:
Integrando em relação a :
onde é uma função arbitrária de .

Passo 7

Finalmente, usamos -partial Vpartial z = c x para determinar -( partialpartial z ( a4 x^4 + b2 x^2 y^2 + c z x + a4 y^4 ) + partial hpartial z ) = c x :
- (c x + partial hpartial z) = c x
Calculando a derivada de partial hpartial z = -2 c x em relação a h(z) = -2 c x z + C :
Isso simplifica para:
Portanto:
Integrando em relação a :
onde é uma constante.

Passo 8

Substituindo V(x, y, z) = -a4 x^4 - b2 x^2 y^2 - c x z - a4 y^4 + C de volta na expressão de :
Podemos escolher para simplificar.

Resposta

O trabalho realizado pela força ao mover a partícula da origem até o ponto W = V(0,0,0) - V(x0, y0, z0) = -V(x0, y0, z0) é igual à diferença de energia potencial:
V(x, y, z) = -a4 x^4 - b2 x^2 y^2 - c x z - a4 y^4
A energia potencial é dada por:

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