Um projétil é lançado próximo à superfície da terra de modo que seu movimento ocorre no plano
, com o eixo
na direção vertical. Despreze a resistência do ar.
c) Escreva
na forma
que corresponde à equação de uma parábola com vértice em
. Nessa equação,
é a distância entre o vértice e o foco.
c) Escreva
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um projétil lançado perto da Terra, movendo-se no plano
, onde
está pra cima. A gente quer escrever a equação da trajetória desse projétil na forma de uma parábola, que é
. Isso é matéria de cinemática e geometria analítica. Precisamos transformar a equação da trajetória do projétil para essa forma específica de parábola, identificando os parâmetros
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a equação da trajetória de um projétil sem resistência do ar. A posição vertical
em função de
é dada por:
Aqui,
é o ângulo de lançamento,
é a velocidade inicial, e
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Agora, queremos colocar essa equação na forma
. Para isso, vamos reorganizar a equação da trajetória:
Primeiro, escrevemos a equação geral:
Passo 4
Vamos completar o quadrado para transformar a equação em uma parábola. Primeiro, reorganizamos a equação:
Passo 5
Multiplicamos todos os termos por
para facilitar a conclusão do quadrado:
Passo 6
Completando o quadrado para
, temos:
Passo 7
Comparando com a forma da parábola
, identificamos:
-
-
-
, então
Resposta
A equação da trajetória do projétil na forma desejada é:
onde: