Um projétil é lançado próximo à superfície da terra de modo que seu movimento ocorre no plano x z, com o eixo z na direção vertical. Despreze a resistência do ar.
c) Escreva z(x) na forma
(x-h)^2=4 p(z-k)
que corresponde à equação de uma parábola com vértice em (x=h, z=k). Nessa equação, p é a distância entre o vértice e o foco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um projétil lançado perto da Terra, movendo-se no plano x z, onde z está pra cima. A gente quer escrever a equação da trajetória desse projétil na forma de uma parábola, que é (x-h)^2=4 p(z-k). Isso é matéria de cinemática e geometria analítica. Precisamos transformar a equação da trajetória do projétil para essa forma específica de parábola, identificando os parâmetros h, k e p.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação da trajetória de um projétil sem resistência do ar. A posição vertical z em função de x é dada por:
z(x) = tan(theta) x - g2 v0^2 cos^2(theta) x^2
Aqui, theta é o ângulo de lançamento, v0 é a velocidade inicial, e g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Agora, queremos colocar essa equação na forma (x-h)^2=4 p(z-k). Para isso, vamos reorganizar a equação da trajetória:
Primeiro, escrevemos a equação geral:
z(x) = tan(theta) x - g2 v0^2 cos^2(theta) x^2

Passo 4

Vamos completar o quadrado para transformar a equação em uma parábola. Primeiro, reorganizamos a equação:
g2 v0^2 cos^2(theta) x^2 - tan(theta) x + z(x) = 0

Passo 5

Multiplicamos todos os termos por -2 v0^2 cos^2(theta)g para facilitar a conclusão do quadrado:
x^2 - 2 v0^2 cos^2(theta) tan(theta)g x - 2 v0^2 cos^2(theta)g z(x) = 0

Passo 6

Completando o quadrado para x, temos:
(x - v0^2 cos^2(theta) tan(theta)g)^2 = 2 v0^2 cos^2(theta)g z(x) + (v0^2 cos^2(theta) tan(theta)g)^2

Passo 7

Comparando com a forma da parábola (x-h)^2=4 p(z-k), identificamos:
  • h = v0^2 cos^2(theta) tan(theta)g
  • k = - ( v0^2 cos^2(theta) tan(theta)g )^2 2 v0^2 cos^2(theta)g = -v0^2 cos^2(theta) tan^2(theta)2 g
  • 4 p = 2 v0^2 cos^2(theta)g, então p = v0^2 cos^2(theta)2 g

Resposta

A equação da trajetória do projétil na forma desejada é:
(x - h)^2 = 4 p (z - k)
onde:
h = v0^2 cos^2(theta) tan(theta)g, k = -v0^2 cos^2(theta) tan^2(theta)2 g, e p = v0^2 cos^2(theta)2 g

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