Seja o movimento de uma partícula sobre o eixo . A posição da partícula em cada instante é dada por ( é medido em segundos e em metros).
a) Qual a posição da partícula no instante e para infinito?
b) Em que instantes a partícula para?
c) Qual a região onde a partícula está em movimento acelerado? Qual a região onde o movimento é retardado?
d) Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui! Temos o movimento de uma partícula ao longo do eixo , e a posição dela em qualquer instante é dada por:
Aqui, é tempo em segundos e é posição em metros. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar velocidade e aceleração, além de analisar os comportamentos da partícula em diferentes momentos. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.

Passo 2

Parte a) Queremos saber a posição da partícula nos instantes , segundo e quando tende ao infinito.
Primeiro, vamos substituir os valores de na equação da posição:
Para :
Para :
Agora, para indo para o infinito ( ):
À medida que cresce muito, o termo dominante é , então:
Isso significa que a posição da partícula tende ao infinito conforme o tempo aumenta.

Passo 3

Parte b) Queremos encontrar os instantes em que a partícula para, ou seja, quando sua velocidade é zero.
Primeiro, precisamos encontrar a função velocidade , que é a derivada da posição em relação ao tempo:
Agora, para encontrar quando a partícula para, igualamos a velocidade a zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Agora, resolvemos essa equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Portanto, a partícula para nos instantes s e s.

Passo 4

Parte c) Precisamos determinar onde a partícula está em movimento acelerado e onde está em movimento retardado.
Primeiro, vamos encontrar a função aceleração , que é a derivada da velocidade:
O movimento é acelerado quando a aceleração tem o mesmo sinal da velocidade, ou seja, quando e são positivas ou negativas.
Vamos analisar os sinais de e :
  1. Encontrar onde :
  1. Analisar os intervalos:
  • Para s:
  • Para s:
Agora, verificar a velocidade nos mesmos intervalos:
  • Para s, vamos escolher s:
  • Para s, vamos escolher s:
Conclusão:
  • Acelerado: Quando s (aceleração positiva)
  • Retardado: Quando s (aceleração negativa)

Passo 5

Parte d) Vamos calcular a aceleração .
Já encontramos a aceleração na parte anterior:
Esse é o resultado final para a função aceleração da partícula em função do tempo.

Resposta

a) A posição da partícula é metros em s, metros em s e tende ao infinito conforme cresce.
b) A partícula para nos instantes s e s.
c) A partícula está em movimento acelerado para s e em movimento retardado para s.
d) A aceleração da partícula é .

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Uma partícula, também em movimento unidimensional, possui aceleração dada por .
a) Sabendo-se que no instante a velocidade da partícula é nula, calcule a velocidade da partícula num instante qualquer. Qual a velocidade da partícula para ?
b) Sabendo-se ainda que no instante a partícula está na posição , calcule a posição da partícula num instante qualquer. Qual a posição para e ?
c) Onde a partícula para? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?
d) Qual a velocidade e aceleração médias entre ?
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