Seja o movimento de uma partícula sobre o eixo x. A posição da partícula em cada instante é dada por x(t)=t^3-7,5 t^2+18 t+3 ( t é medido em segundos e x em metros).
a) Qual a posição da partícula no instante t=0, t=1 s e para t infinito?
b) Em que instantes a partícula para?
c) Qual a região onde a partícula está em movimento acelerado? Qual a região onde o movimento é retardado?
d) Calcule a(t).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui! Temos o movimento de uma partícula ao longo do eixo x(t) = t^3 - 7,5 t^2 + 18 t + 3 , e a posição dela em qualquer instante é dada por:
Aqui, é tempo em segundos e é posição em metros. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar velocidade e aceleração, além de analisar os comportamentos da partícula em diferentes momentos. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.

Passo 2

Parte a) Queremos saber a posição da partícula nos instantes x(0) = 0^3 - 7,5 times 0^2 + 18 times 0 + 3 = 3 , metros , x(1) = 1^3 - 7,5 times 1^2 + 18 times 1 + 3 = 1 - 7,5 + 18 + 3 = 14,5 , metros segundo e quando x(t) = t^3 - 7,5 t^2 + 18 t + 3 tende ao infinito.
Primeiro, vamos substituir os valores de x(t) approx t^3 to infty , metros na equação da posição:
Para :
Para :
Agora, para indo para o infinito ( ):
À medida que cresce muito, o termo dominante é , então:
Isso significa que a posição da partícula tende ao infinito conforme o tempo aumenta.

Passo 3

Parte b) Queremos encontrar os instantes em que a partícula para, ou seja, quando sua velocidade é zero.
Primeiro, precisamos encontrar a função velocidade v(t) = dxdt = 3t^2 - 15t + 18 , que é a derivada da posição em relação ao tempo:
3t^2 - 15t + 18 = 0
Agora, para encontrar quando a partícula para, igualamos a velocidade a zero:
t^2 - 5t + 6 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
t = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12
Agora, resolvemos essa equação quadrática:
t = 5 + 12 = 3 , segundos
Então, temos duas soluções:
t = 5 - 12 = 2 , segundos
Portanto, a partícula para nos instantes s e s.

Passo 4

Parte c) Precisamos determinar onde a partícula está em movimento acelerado e onde está em movimento retardado.
Primeiro, vamos encontrar a função aceleração a(t) = dvdt = 6t - 15 , que é a derivada da velocidade:
6t - 15 = 0 implies t = 2,5 , segundos
O movimento é acelerado quando a aceleração tem o mesmo sinal da velocidade, ou seja, quando a(t) = 6t - 15 < 0 e a(t) = 6t - 15 > 0 são positivas ou negativas.
Vamos analisar os sinais de v(2) = 3(2)^2 - 15(2) + 18 = 12 - 30 + 18 = 0 e v(4) = 3(4)^2 - 15(4) + 18 = 48 - 60 + 18 = 6 , m/s :
  1. Encontrar onde :
  1. Analisar os intervalos:
  • Para s:
  • Para s:
Agora, verificar a velocidade nos mesmos intervalos:
  • Para s, vamos escolher s:
  • Para s, vamos escolher s:
Conclusão:
  • Acelerado: Quando s (aceleração positiva)
  • Retardado: Quando s (aceleração negativa)

Passo 5

Parte d) Vamos calcular a aceleração a(t) = 6t - 15 .
Já encontramos a aceleração na parte anterior:
Esse é o resultado final para a função aceleração da partícula em função do tempo.

Resposta

a) A posição da partícula é metros em s, metros em s e tende ao infinito conforme cresce.
b) A partícula para nos instantes s e s.
c) A partícula está em movimento acelerado para s e em movimento retardado para s.
d) A aceleração da partícula é .

Exercícios relacionados