Seja o movimento de uma partícula sobre o eixo
. A posição da partícula em cada instante é dada por
(
é medido em segundos e
em metros).
a) Qual a posição da partícula no instante
e para
infinito?
b) Em que instantes a partícula para?
c) Qual a região onde a partícula está em movimento acelerado? Qual a região onde o movimento é retardado?
d) Calcule
.
a) Qual a posição da partícula no instante
b) Em que instantes a partícula para?
c) Qual a região onde a partícula está em movimento acelerado? Qual a região onde o movimento é retardado?
d) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui! Temos o movimento de uma partícula ao longo do eixo
, e a posição dela em qualquer instante
é dada por:
Aqui,
é tempo em segundos e
é posição em metros. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para encontrar velocidade e aceleração, além de analisar os comportamentos da partícula em diferentes momentos. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.
Passo 2
Parte a) Queremos saber a posição da partícula nos instantes
,
segundo e quando
tende ao infinito.
Primeiro, vamos substituir os valores de
na equação da posição:
Para
:
Para
:
Agora, para
indo para o infinito (
):
À medida que
cresce muito, o termo dominante é
, então:
Isso significa que a posição da partícula tende ao infinito conforme o tempo aumenta.
Passo 3
Parte b) Queremos encontrar os instantes em que a partícula para, ou seja, quando sua velocidade é zero.
Primeiro, precisamos encontrar a função velocidade
, que é a derivada da posição em relação ao tempo:
Agora, para encontrar quando a partícula para, igualamos a velocidade a zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Agora, resolvemos essa equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Portanto, a partícula para nos instantes
s e
s.
Passo 4
Parte c) Precisamos determinar onde a partícula está em movimento acelerado e onde está em movimento retardado.
Primeiro, vamos encontrar a função aceleração
, que é a derivada da velocidade:
O movimento é acelerado quando a aceleração tem o mesmo sinal da velocidade, ou seja, quando
e
são positivas ou negativas.
Vamos analisar os sinais de
e
:
- Encontrar onde
:
- Analisar os intervalos:
- Para
s: - Para
s:
Agora, verificar a velocidade nos mesmos intervalos:
- Para
s, vamos escolher s: - Para
s, vamos escolher s:
Conclusão:
- Acelerado: Quando
s (aceleração positiva) - Retardado: Quando
s (aceleração negativa)
Passo 5
Parte d) Vamos calcular a aceleração
.
Já encontramos a aceleração na parte anterior:
Esse é o resultado final para a função aceleração da partícula em função do tempo.
Resposta
a) A posição da partícula é
metros em
s,
metros em
s e tende ao infinito conforme
cresce.
b) A partícula para nos instantes
s e
s.
c) A partícula está em movimento acelerado para
s e em movimento retardado para
s.
d) A aceleração da partícula é
.
Exercícios relacionados
A velocidade de uma bala enquanto percorre o cano de um rifle em direção a boca da arma é dada por
onde a velocidade é dada em metros por segundo e o tempo em segundos. A aceleração da bala assim que sai do cano é zero.
c) Encontre a velocidade com a qual a bala sai do cano.
c) Encontre a velocidade com a qual a bala sai do cano.
Uma partícula, também em movimento unidimensional, possui aceleração dada por
.
a) Sabendo-se que no instante a velocidade da partícula é nula, calcule a velocidade da partícula num instante qualquer. Qual a velocidade da partícula para
?
b) Sabendo-se ainda que no instante a partícula está na posição
, calcule a posição da partícula num instante qualquer. Qual a posição para
e
?
c) Onde a partícula para? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?
d) Qual a velocidade e aceleração médias entre ?
a) Sabendo-se que no instante
b) Sabendo-se ainda que no instante
c) Onde a partícula para? Em que região o movimento é acelerado? Onde é retardado? Em que região a partícula está indo? Onde está voltando?
d) Qual a velocidade e aceleração médias entre
Um carro se move sobre um plano
com componentes da aceleração
e
. A velocidade inicial tem componentes
e
. Qual a velocidade do carro quando atinge a maior coordenada
A velocidade de uma bala enquanto percorre o cano de um rifle em direção a boca da arma é dada por
onde a velocidade é dada em metros por segundo e o tempo em segundos. A aceleração da bala assim que sai do cano é zero.
d) Qual o comprimento do cano?
d) Qual o comprimento do cano?