A velocidade de uma bala enquanto percorre o cano de um rifle em direção a boca da arma é dada por v(t)=-5.10^7 t^2+ 3.10^5 t onde a velocidade é dada em metros por segundo e o tempo em segundos. A aceleração da bala assim que sai do cano é zero.
c) Encontre a velocidade com a qual a bala sai do cano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de cinemática, onde a velocidade da bala enquanto ela está no cano do rifle é dada pela equação:
v(t) = -5 cdot 10^7 t^2 + 3 cdot 10^5 t
A gente precisa descobrir com que velocidade a bala sai do cano, ou seja, no instante em que a aceleração é zero. Para isso, vamos usar derivadas para encontrar a aceleração e determinar o tempo certo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos calcular a derivada de v(t) = -5 cdot 10^7 t^2 + 3 cdot 10^5 t para encontrar a(t) = dvdt = ddt(-5 cdot 10^7 t^2) + ddt(3 cdot 10^5 t) :
a(t) = -2 cdot 5 cdot 10^7 t + 3 cdot 10^5
Derivando cada termo:
a(t) = -10^8 t + 3 cdot 10^5

Passo 3

Agora, sabemos que a aceleração é zero quando a bala sai do cano. Então, vamos igualar -10^8 t + 3 cdot 10^5 = 0 a zero e resolver para -10^8 t = -3 cdot 10^5 :
t = 3 cdot 10^510^8
Isolando t = 3 cdot 10^-3 :
segundos

Passo 4

Com o tempo v(3 cdot 10^-3) = -5 cdot 10^7 (3 cdot 10^-3)^2 + 3 cdot 10^5 (3 cdot 10^-3) segundos, vamos substituir esse valor na equação da velocidade para encontrar -5 cdot 10^7 cdot (9 cdot 10^-6) = -4.5 cdot 10^2 no momento em que a bala sai do cano:
3 cdot 10^5 cdot 3 cdot 10^-3 = 9 cdot 10^2
Calculando cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:

Passo 5

Agora, somando os dois termos:
-4.5 cdot 10^2 + 9 cdot 10^2 = 4.5 cdot 10^2

Resposta

A velocidade com a qual a bala sai do cano é de metros por segundo, ou seja, 450 m/s.

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