Do topo de um prédio de altura h=100 m, uma pedra é atirada verticalmente para cima com velocidade $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Suponha que exista um buraco de 50 m no solo. Quando e com qual velocidade a pedra atinge o fundo deste buraco?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento vertical! Aqui, a gente vai usar conceitos de cinemática, que estuda como os objetos se movem. Vamos precisar das fórmulas para posição e velocidade em movimentos uniformemente variados, tipo a aceleração da gravidade. Basicamente, vamos calcular quando a pedra atinge o fundo do buraco e com que velocidade isso acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a situação: a pedra é lançada do topo de um prédio que tem 100 metros de altura, para cima, com uma velocidade inicial de 10 m/s. Tem um buraco no chão que vai até 50 metros abaixo. Então, a posição inicial da pedra é 100 m, e queremos saber quando ela chega a -50 m (porque está 50 m abaixo do chão).

Passo 3

Vamos usar a equação da posição no movimento vertical:
y(t) = y0 + v0 t - 12 g t^2
Onde:
  • é a posição da pedra no tempo .
  • m é a posição inicial.
  • m/s é a velocidade inicial para cima.
  • m/s² é a aceleração da gravidade (vamos arredondar para facilitar).

Passo 4

Queremos encontrar o tempo -50 = 100 + 10 t - 12 times 10 times t^2 quando a pedra atinge o fundo do buraco, ou seja, quando m. Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 5

Simplificando a equação:
-50 = 100 + 10 t - 5 t^2
Vamos levar tudo para um lado da equação para resolver o segundo grau:
5 t^2 - 10 t - 150 = 0

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação quadrática t^2 - 2 t - 30 = 0 . Podemos simplificar dividindo todos os termos por 5:
t = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 times 1 times (-30)2 times 1 = 2 pm raiz4 + 1202 = 2 pm raiz1242
Para resolver, usamos a fórmula de Bhaskara:
t = 2 pm 11,142
A raiz de 124 é aproximadamente 11,14, então:
t = 2 + 11,142 approx 6,57 segundos
Desprezamos a solução negativa, então:

Passo 7

Agora que sabemos o tempo, vamos encontrar a velocidade da pedra nesse instante. Usamos a fórmula da velocidade no movimento vertical:
v(t) = v0 - g t
Substituindo os valores:
v(6,57) = 10 - 10 times 6,57 = 10 - 65,7 = -55,7 m/s
O sinal negativo indica que a pedra está descendo.

Resposta

A pedra atinge o fundo do buraco após aproximadamente 6,57 segundos com uma velocidade de 55,7 m/s para baixo.

Exercícios relacionados