A partir da equação das alturas conjugadas de um ressalto hidráulico em um canal retangular, demonstre que:
Fr2^2=8 Fr1^2(raiz1+8 Fr1^2-1)^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente derivar uma relação entre os números de Froude antes e depois de um ressalto hidráulico em um canal retangular. Ou seja, vamos mostrar que:
Fr2^2=8 Fr1^2(raiz1+8 Fr1^2-1)^3
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o que é o número de Froude e como funciona um ressalto hidráulico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Número de Froude ( Fr). Ele é uma razão adimensional que compara as forças de inércia com as forças gravitacionais em um fluxo de fluido. A fórmula é:
Fr = Vraizg h
Onde:
  • $ V $ é a velocidade do fluxo,
  • $ g $ é a aceleração devido à gravidade,
  • $ h $ é a profundidade do fluxo.
No caso de um ressalto hidráulico, temos duas profundidades: antes do ressalto ($ h_1 V h_2 $).

Passo 3

Um ressalto hidráulico ocorre quando o fluxo passa de uma condição de alta velocidade (baixo $ h $) para uma condição de baixa velocidade (alto $ h $). As profundidades $ h_1 $ e $ h_2 $ estão relacionadas pela equação das alturas conjugadas:
h
Essa equação nos permite relacionar as profundidades antes e depois do ressalto usando o número de Froude inicialmente ($ \mathrm{Fr}_1 $).

Passo 4

Agora, vamos expressar o número de Froude depois do ressalto ($ \mathrm{Fr}_2 $) em termos de $ h_2 $:
Fr2
Mas também sabemos que a continuidade do fluxo nos dá:
h2
Isso significa que:
Fr2 = V2raizg h2

Passo 5

Substituindo $ V_2 $ na expressão de $ \mathrm{Fr}_2 $:
V2
Então, temos:
Fr2

Passo 6

Agora, vamos substituir $ h_2 $ da equação das alturas conjugadas:
h2
Então:
h2 = 12 ( raiz1 + 8 Fr1^2 - 1 ) h1

Passo 7

Substituindo isso na expressão de $ \mathrm{Fr}_2 $:
Fr2
Agora, elevando ambos os lados ao quadrado para encontrar $ \mathrm{Fr}_2^2 $:
Fr2 = Fr1 cdot 2raiz1 + 8 Fr1^2 - 1

Passo 8

Porém, queremos chegar à expressão:
Fr2^2=8 Fr1^2(raiz1+8 Fr1^2-1)^3
Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador por $ \sqrt{1 + 8 \mathrm{Fr}_1^2} + 1 $, que é o conjugado do denominador, para racionalizar:
raiz1 + 8 Fr1^2 + 1
Simplificando o denominador:
Fr2^2 = 4 Fr1^2 (raiz1 + 8 Fr1^2 + 1)(raiz1 + 8 Fr1^2 - 1)^2 (raiz1 + 8 Fr1^2 + 1) = 4 Fr1^2 (raiz1 + 8 Fr1^2 + 1)(1 + 8 Fr1^2) - 1
Então:
(1 + 8 Fr1^2) - 1 = 8 Fr1^2
Finalmente, rearranjando os termos:
Fr2^2 = 4 Fr1^2 (raiz1 + 8 Fr1^2 + 1)8 Fr1^2 = raiz1 + 8 Fr1^2 + 12

Resposta

Conseguimos mostrar que:
Fr2^2=8 Fr1^2(raiz1+8 Fr1^2-1)^3

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