A partir da equação das alturas conjugadas de um ressalto hidráulico em um canal retangular, demonstre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente derivar uma relação entre os números de Froude antes e depois de um ressalto hidráulico em um canal retangular. Ou seja, vamos mostrar que:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o que é o número de Froude e como funciona um ressalto hidráulico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Número de Froude (
). Ele é uma razão adimensional que compara as forças de inércia com as forças gravitacionais em um fluxo de fluido. A fórmula é:
Onde:
- $ V $ é a velocidade do fluxo,
- $ g $ é a aceleração devido à gravidade,
- $ h $ é a profundidade do fluxo.
No caso de um ressalto hidráulico, temos duas profundidades: antes do ressalto ($ h_1
h_2 $).
Passo 3
Um ressalto hidráulico ocorre quando o fluxo passa de uma condição de alta velocidade (baixo $ h $) para uma condição de baixa velocidade (alto $ h $). As profundidades $ h_1 $ e $ h_2 $ estão relacionadas pela equação das alturas conjugadas:
Essa equação nos permite relacionar as profundidades antes e depois do ressalto usando o número de Froude inicialmente ($ \mathrm{Fr}_1 $).
Passo 4
Agora, vamos expressar o número de Froude depois do ressalto ($ \mathrm{Fr}_2 $) em termos de $ h_2 $:
Mas também sabemos que a continuidade do fluxo nos dá:
Isso significa que:
Passo 5
Substituindo $ V_2 $ na expressão de $ \mathrm{Fr}_2 $:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos substituir $ h_2 $ da equação das alturas conjugadas:
Então:
Passo 7
Substituindo isso na expressão de $ \mathrm{Fr}_2 $:
Agora, elevando ambos os lados ao quadrado para encontrar $ \mathrm{Fr}_2^2 $:
Passo 8
Porém, queremos chegar à expressão:
Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador por $ \sqrt{1 + 8 \mathrm{Fr}_1^2} + 1 $, que é o conjugado do denominador, para racionalizar:
Simplificando o denominador:
Então:
Finalmente, rearranjando os termos:
Resposta
Conseguimos mostrar que: