Sejam v e a, respectivamente, os vetores velocidade e aceleração de um ponto P numa dada posição. Usando a representação de v e a em coordenadas intrínsecas, mostre que o raio de curvatura rho satisfaz à relação:
|v wed>= a|v^3=1rho

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrar que o raio de curvatura rho de um ponto P em movimento está relacionado aos vetores velocidade v e aceleração a pela fórmula:
|v wed>= a|v^3 = 1rho
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente como os vetores velocidade e aceleração influenciam a trajetória de um ponto em movimento.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é raio de curvatura rho. Ele mede o quanto uma trajetória está “curvada” em um ponto específico. Quanto menor for rho, mais acentuada é a curva nesse ponto.

Passo 3

Vamos considerar a representação dos vetores velocidade v e aceleração a nas coordenadas intrínsecas, ou seja, usando um sistema de coordenadas que se move junto com o ponto P. Nessa representação, a aceleração pode ser decomposta em duas partes:
  • Aceleração tangencial ( at): relacionada à variação da velocidade ao longo da trajetória.
  • Aceleração normal ( an): responsável por mudar a direção da velocidade, trazendo a curvatura na trajetória.

Passo 4

A parte da aceleração que causa a curvatura é a aceleração normal an. Sabemos que:
an = v^2rho
Isso nos relaciona diretamente a velocidade, a aceleração normal e o raio de curvatura.

Passo 5

Agora, vamos relacionar isso com o produto vetorial v wed>= a. O módulo desse produto vetorial representa a área do paralelogramo formado por v e a, que, no contexto do movimento, está ligada à componente perpendicular da aceleração.
Como a aceleração normal é perpendicular à velocidade, temos:
|v wed>= a| = v cdot an

Passo 6

Substituindo a expressão de an que encontramos:
|v wed>= a| = v cdot v^2rho = v^3rho

Passo 7

Agora, dividindo ambos os lados por v^3:
|v wed>= a|v^3 = 1rho

Resposta

Então, mostramos que:
|v wed>= a|v^3 = 1rho

Exercícios relacionados