Sejam
e
, respectivamente, os vetores velocidade e aceleração de um ponto
numa dada posição. Usando a representação de
e a em coordenadas intrínsecas, mostre que o raio de curvatura
satisfaz à relação:
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrar que o raio de curvatura
de um ponto
em movimento está relacionado aos vetores velocidade
e aceleração
pela fórmula:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente como os vetores velocidade e aceleração influenciam a trajetória de um ponto em movimento.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é raio de curvatura
. Ele mede o quanto uma trajetória está “curvada” em um ponto específico. Quanto menor for
, mais acentuada é a curva nesse ponto.
Passo 3
Vamos considerar a representação dos vetores velocidade
e aceleração
nas coordenadas intrínsecas, ou seja, usando um sistema de coordenadas que se move junto com o ponto
. Nessa representação, a aceleração pode ser decomposta em duas partes:
- Aceleração tangencial (
): relacionada à variação da velocidade ao longo da trajetória. - Aceleração normal (
): responsável por mudar a direção da velocidade, trazendo a curvatura na trajetória.
Passo 4
A parte da aceleração que causa a curvatura é a aceleração normal
. Sabemos que:
Isso nos relaciona diretamente a velocidade, a aceleração normal e o raio de curvatura.
Passo 5
Agora, vamos relacionar isso com o produto vetorial
. O módulo desse produto vetorial representa a área do paralelogramo formado por
e
, que, no contexto do movimento, está ligada à componente perpendicular da aceleração.
Como a aceleração normal é perpendicular à velocidade, temos:
Passo 6
Substituindo a expressão de
que encontramos:
Passo 7
Agora, dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Então, mostramos que: