Sejam e , respectivamente, os vetores velocidade e aceleração de um ponto numa dada posição. Usando a representação de e a em coordenadas intrínsecas, mostre que o raio de curvatura satisfaz à relação:

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para mostrar que o raio de curvatura de um ponto em movimento está relacionado aos vetores velocidade e aceleração pela fórmula:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, especificamente como os vetores velocidade e aceleração influenciam a trajetória de um ponto em movimento.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é raio de curvatura . Ele mede o quanto uma trajetória está “curvada” em um ponto específico. Quanto menor for , mais acentuada é a curva nesse ponto.

Passo 3

Vamos considerar a representação dos vetores velocidade e aceleração nas coordenadas intrínsecas, ou seja, usando um sistema de coordenadas que se move junto com o ponto . Nessa representação, a aceleração pode ser decomposta em duas partes:
  • Aceleração tangencial ( ): relacionada à variação da velocidade ao longo da trajetória.
  • Aceleração normal ( ): responsável por mudar a direção da velocidade, trazendo a curvatura na trajetória.

Passo 4

A parte da aceleração que causa a curvatura é a aceleração normal . Sabemos que:
Isso nos relaciona diretamente a velocidade, a aceleração normal e o raio de curvatura.

Passo 5

Agora, vamos relacionar isso com o produto vetorial . O módulo desse produto vetorial representa a área do paralelogramo formado por e , que, no contexto do movimento, está ligada à componente perpendicular da aceleração.
Como a aceleração normal é perpendicular à velocidade, temos:

Passo 6

Substituindo a expressão de que encontramos:

Passo 7

Agora, dividindo ambos os lados por :

Resposta

Então, mostramos que:

Exercícios relacionados

O raio do pilar é definido por com y em metros. No topo do pilar atua uma força axial centrada para baixo proveniente da reação de apoio de uma viga igual a 5 tf . Sabendo que o peso específico do material que constitui o pilar é (mega grama força por metro cúbico) e que o solo de apoio tem as características descritas a seguir, determine qual é a cota de apoio da base do pilar para que o solo não rompa. Dados: foi feito um estudo no solo e verificado que a tensão admissível varia com a profundidade de acordo com os seguintes valores: . [Resposta: ].
Partindo da equação a conservação da quantidade de movimento (QM) na forma integral:
  1. A partir da equação de conservação da QM para o escoamento incompressível de um fluido newtoniano com viscosidade constante (na forma vetorial) obtida na questão anterior,
a. Obtenha a forma adimensional desta equação como função dos números de Re (Reynolds), Fr (Froude), Eu (Euler) e St (Strouhal), consulte a seção 10.2 do Livro Çengel para verificar os parâmetros de escala para adimensionalização.
Os pontos e pertencem a um mesmo corpo rígido, modelado como uma figura plana. Sabendo que:
Pedem-se:
a) O valor de ;
b) A velocidade do ponto .
O sistema indicado move-se no plano Oxy. A barra OA gira em torno de O, de maneira que , constante). No ponto A as barras estão ligadas por uma articulação. A extremidade B percorre um trecho do eixo Oy. Pedem-se:
a) O vetor posição ( ) do centro instantâneo de rotação I da barra ;
b) A velocidade de B e a velocidade de ;
c) O vetor rotação da ;
d) A velocidade do ponto médio da barra AB ;
e) Os valores máximo e mínimo de , indicando para quais valores de eles ocorrem.
Obs.:
i) Admitir que o sistema possibilita ;
ii) Os vetores pedidos devem ser expressos na base ;
iii) Os escalares pedidos devem ser expressos em função da variável .