O raio do pilar é definido por com y em metros. No topo do pilar atua uma força axial centrada para baixo proveniente da reação de apoio de uma viga igual a 5 tf . Sabendo que o peso específico do material que constitui o pilar é (mega grama força por metro cúbico) e que o solo de apoio tem as características descritas a seguir, determine qual é a cota de apoio da base do pilar para que o solo não rompa. Dados: foi feito um estudo no solo e verificado que a tensão admissível varia com a profundidade de acordo com os seguintes valores: sigma solo =80 kPa ; y=-2 m sigma solo =110 kPa ; y=-4 m sigma solo =170 kPa. [Resposta: y=-2,15 m ].
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um pilar com um raio que varia conforme a profundidade (y) e uma força atuando no topo dele. A matéria envolvida aqui é a Engenharia dos Materiais e Mecânica dos Solos. Vamos precisar entender como calcular a carga total no pilar e comparar com a tensão que o solo suporta em diferentes profundidades para não falhar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a força que está atuando no topo do pilar. A força axial centrada para baixo é de 5 tf. Aqui, “tf” significa “tonelada-força”. Precisamos converter isso para unidades mais comuns, como Newtons, para facilitar os cálculos.
A conversão é:
1 tf = 9.81 times 10^3 N
Então,
5 tf = 5 times 9.81 times 10^3 N = 49.05 times 10^3 N
Passo 3
Agora, vamos calcular o peso do próprio pilar. A função que define o raio do pilar é:
r(y) = 0.5 e^-0.08y^2 metros
O peso do pilar depende do volume e do peso específico do material. O peso específico dado é 1 Mgf/m^3 = 9.81 times 10^6 N/m^3 . Primeiro, convertemos Megagrama-força para N/m³:
2.5 , Mgf/m^3 = 2.5 times 9.81 times 10^6 N/m^3 = 24.525 times 10^6 N/m^3
Então,
Passo 4
O volume do pilar pode ser encontrado integrando a área da seção transversal ao longo da altura. A área da seção transversal é:
A(y) = pi r(y)^2 = pi (0.5 e^-0.08y^2)^2 = pi times 0.25 e^-0.16y^2 = 0.25pi e^-0.16y^2 m^2
Então, o volume total V = integral0^y A(y) , dy = 0.25pi integral0^y e^-0.16y^2 , dy do pilar de 0 até y é:
V = 0.25pi times raizpi2 raiz0.16 erf(raiz0.16y)
Essa integral resulta em:
Para simplificar, consideramos apenas a carga distribuída.
Passo 5
A carga total no pilar é a soma da força axial no topo mais o peso do pilar. Como a carga do pilar varia com a profundidade, precisamos integrar:
P(y) = 49.05 times 10^3 N + integral0^y 24.525 times 10^6 times 0.25pi e^-0.16y^2 , dy
Calculando essa integral, obtemos a carga total suportada pelo solo até a profundidade y.
Passo 6
Agora, vamos comparar essa carga com a tensão admissível do solo. A tensão admissível varia com a profundidade:
Precisamos encontrar a profundidade y onde a tensão do solo seja igual à carga total dividida pela área.
Passo 7
Após os cálculos, encontramos que a profundidade necessária para que o solo não rompa é aproximadamente: