Partindo-se da equação diferencial da estática dos fluidos,
, deduza uma expressão analítica para o cálculo da pressão § em função de z, em uma região da troposfera, considerando a temperatura variando linearmente com a altitude de acordo com a função
, em que
é o coeficiente de decaimento da temperatura (
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para deduzirmos uma expressão para a pressão
em função da altitude
na troposfera. Para isso, vamos usar a equação diferencial da estática dos fluidos:
Aqui,
é a densidade do ar,
é a aceleração da gravidade, e
é simplesmente
. Além disso, sabemos que a temperatura varia linearmente com a altitude:
onde
é a temperatura no nível do mar e
é o coeficiente de decaimento da temperatura. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como a pressão, densidade e temperatura se relacionam na atmosfera, usando a equação dos gases ideais e a equação da estática dos fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação dos gases ideais, que relaciona pressão
, densidade
, temperatura
e a constante dos gases
:
Aqui,
é a constante específica dos gases para o ar. Podemos rearranjar essa equação para expressar
em termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expressão de
na equação da estática dos fluidos:
Assim, temos:
Passo 4
Sabemos que a temperatura
varia com a altitude
de forma linear:
Vamos substituir
na equação diferencial:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e podemos resolvê-la separando as variáveis. Vamos reescrever a equação:
Agora, vamos integrar ambos os lados. O lado esquerdo se integra facilmente:
Para o lado direito, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo:
Substituindo de volta
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para
. Exponenciando ambos os lados da equação:
Podemos escrever
como uma constante
, que representa a pressão ao nível do mar
:
Resposta
A pressão em função da altitude
na troposfera é dada por:
onde:
-
é a pressão ao nível do mar, -
é a temperatura ao nível do mar, -
é o coeficiente de decaimento da temperatura, -
é a aceleração da gravidade, -
é a constante específica dos gases para o ar.
Essa expressão mostra como a pressão diminui com o aumento da altitude considerando uma variação linear da temperatura.