Partindo-se da equação diferencial da estática dos fluidos, d pd z=-rho g equiv-gamma, deduza uma expressão analítica para o cálculo da pressão § em função de z, em uma região da troposfera, considerando a temperatura variando linearmente com a altitude de acordo com a função T(z)=T0-alpha z, em que alpha é o coeficiente de decaimento da temperatura ( =0,0065 K / m ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para deduzirmos uma expressão para a pressão dpdz = -rho g equiv -gamma em função da altitude T(z) = T0 - alpha z na troposfera. Para isso, vamos usar a equação diferencial da estática dos fluidos:
Aqui, é a densidade do ar, é a aceleração da gravidade, e é simplesmente . Além disso, sabemos que a temperatura varia linearmente com a altitude:
onde é a temperatura no nível do mar e é o coeficiente de decaimento da temperatura. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como a pressão, densidade e temperatura se relacionam na atmosfera, usando a equação dos gases ideais e a equação da estática dos fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação dos gases ideais, que relaciona pressão p = rho R T , densidade rho = pR T , temperatura e a constante dos gases :
Aqui, é a constante específica dos gases para o ar. Podemos rearranjar essa equação para expressar em termos de e :

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão de dpdz = -rho g = -pR T g na equação da estática dos fluidos:
dpdz = -gR T p
Assim, temos:

Passo 4

Sabemos que a temperatura T(z) = T0 - alpha z varia com a altitude dpdz = -gR (T0 - alpha z) p de forma linear:
Vamos substituir na equação diferencial:

Passo 5

Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e podemos resolvê-la separando as variáveis. Vamos reescrever a equação:
dpp = -gR (T0 - alpha z) dz
Agora, vamos integrar ambos os lados. O lado esquerdo se integra facilmente:
integral 1p dp = ln p + C1
Para o lado direito, fazemos uma substituição simples. Seja integral -gR u dz = integral -gR u ( -dualpha ) = gR alpha integral 1u du = gR alpha ln u + C2 , então ln p = gR alpha ln (T0 - alpha z) + C , ou seja, . Substituindo:
Substituindo de volta :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para p = e^gR alpha ln (T0 - alpha z) + C = e^C (T0 - alpha z)^gR alpha . Exponenciando ambos os lados da equação:
p = p0 ( T0T0 - alpha z )^gR alpha
Podemos escrever como uma constante , que representa a pressão ao nível do mar :

Resposta

A pressão em função da altitude p(z) = p0 ( T0T0 - alpha z )^gR alpha na troposfera é dada por:
onde:
  • é a pressão ao nível do mar,
  • é a temperatura ao nível do mar,
  • é o coeficiente de decaimento da temperatura,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a constante específica dos gases para o ar.
Essa expressão mostra como a pressão diminui com o aumento da altitude considerando uma variação linear da temperatura.

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