Um tubo de aço ( k=35 kcal / h m ^circ C ) com um diâmetro externo de 3 polegadas, espessura de 0,2 polegadas e comprimento de 150 metros transporta amônia a -20 ^circ C. A convecção na película interna é desprezível. Existem duas opções de isolamento para o tubo: borracha ( =0,13 kcal / h m ^circ C ) com 3 polegadas de espessura; ou isopor ( k=0,24 kcal / h m ^circ C ) com 2 polegadas de espessura. Por razões técnicas, o fluxo máximo de calor não pode exceder 7.000 Kcal / h. Sabendo que a temperatura na superfície externa do isolamento é de 40^circ C, determine:
a) Qual isolamento deve ser usado;
Relembrando: e^ln (x)=x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tubo de aço que transporta amônia a -20°C e queremos isolar esse tubo para que o fluxo de calor não passe de 7.000 kcal/h. A temperatura na superfície externa do isolamento deve ser de 40°C. Temos duas opções de isolamento: borracha e isopor, com diferentes condutividades térmicas e espessuras. Nosso objetivo é calcular qual desses isolantes atende ao requisito do fluxo máximo de calor.
Vamos precisar usar conceitos de condução de calor e a Lei de Fourier para calcular o fluxo de calor através dos diferentes materiais de isolamento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as propriedades de cada material e converter as medidas para unidades consistentes. O tubo tem um diâmetro externo de 3 polegadas e uma espessura de 0,2 polegadas, o que nos dá o diâmetro interno. Mas para simplificar, consideraremos apenas as espessuras dos isolantes.
As unidades estão em calorias por hora, metro e grau Celsius, então precisamos converter os diâmetros e espessuras de polegadas para metros.
Sabendo que:
1 po<=gada = 0,0254 metros
Calculamos:
  • Diâmetro externo do tubo:
  • Espessura do tubo:
  • Diâmetro interno do tubo:

Passo 3

Agora, vamos considerar as duas opções de isolamento:
  1. Borracha:
    • Condutividade térmica:
    • Espessura:
  2. Isopor:
    • Condutividade térmica:
    • Espessura:

Passo 4

Vamos usar a Lei de Fourier para condução de calor, que em coordenadas cilíndricas (como um tubo) é dada por:
Q = 2 pi L k (Tint - Text)ln(rextrint)
Onde:
  • é o fluxo de calor (kcal/h)
  • é o comprimento do tubo (m)
  • é a condutividade térmica do material isolante (kcal/h·m·°C)
  • é a temperatura interna (-20°C)
  • é a temperatura na superfície externa do isolamento (40°C)
  • é o raio externo do isolamento
  • é o raio interno do isolamento
Vamos calcular para cada isolante e verificar qual atende à condição .

Passo 5

Primeiro, calculamos os raios internos e externos para cada isolante.
Borracha:
  • Raio interno ( ):
  • Raio externo ( ):
Isopor:
  • Raio interno ( ):
  • Raio externo ( ):

Passo 6

Agora, aplicamos a Lei de Fourier para cada isolante.
Para a Borracha:
Qborracha = 2 pi times 150 times 0,13 times (40 - (-20))ln(0,11430,0381)
Calculando o denominador:
ln(0,11430,0381) = ln(3) approx 1,0986
Então:
Qborracha = 2 times 3,1416 times 150 times 0,13 times 601,0986
Qborracha approx 2 times 3,1416 times 150 times 0,13 times 601,0986
Qborracha approx 2 times 3,1416 times 150 times 0,13 times 601,0986
Qborracha approx 2 times 3,1416 times 150 times 7,81,0986
Qborracha approx 2 times 3,1416 times 11701,0986
Qborracha approx 7348,81,0986
Qborracha approx 6690 , kcal/h
Para o Isopor:
Qisopor = 2 pi times 150 times 0,24 times (40 - (-20))ln(0,16510,1143)
Calculando o denominador:
ln(0,16510,1143) = ln(1,444) approx 0,367
Então:
Qisopor = 2 times 3,1416 times 150 times 0,24 times 600,367
Qisopor approx 2 times 3,1416 times 150 times 14,40,367
Qisopor approx 2 times 3,1416 times 21600,367
Qisopor approx 13571,50,367
Qisopor approx 36974 , kcal/h

Passo 7

Comparando os resultados com o fluxo máximo permitido de 7.000 kcal/h:
  • Borracha: (menor que 7.000 kcal/h)
  • Isopor: (maior que 7.000 kcal/h)

Resposta

Devemos usar borracha como isolante, pois o fluxo de calor com borracha ( ) está abaixo do limite máximo de 7.000 kcal/h, enquanto o isopor excede esse limite.

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