Um sistema físico é descrito pela lagragiana
onde
são as coordenadas cilíndricas e
uma constante. Mostre que a solução equação radial pode ser obtida através da forma integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de mecânica lagrangiana, que é uma área da física que estuda o movimento de sistemas físicos usando uma função chamada lagrangiana. No enunciado, a lagrangiana
está dada em coordenadas cilíndricas
. Nosso objetivo é mostrar que a equação radial pode ser expressa na forma de uma integral específica. Para isso, vamos precisar usar as equações de Euler-Lagrange, que nos ajudam a encontrar as equações de movimento do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas generalizadas e ver se alguma delas é cíclica. No nosso caso, as coordenadas são
,
e
. Uma coordenada é cíclica se a lagrangiana não depender dela explicitamente. Observando a lagrangiana:
Percebemos que
não aparece de forma explícita, apenas sua derivada no tempo
. Isso significa que
é uma coordenada cíclica, e, por consequência, a momenta conjugada correspondente a
é uma constante de movimento.
Passo 3
Vamos calcular a momenta conjugada para
. A momenta conjugada
é dada por:
Calculando:
Como
é cíclica,
é uma constante, que podemos chamar de
:
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para isolar
:
Passo 5
Agora, vamos usar o princípio da conservação da energia. A energia total
do sistema é a função de Hamilton, que para sistemas conservativos é igual à lagrangiana vezes
menos a lagrangiana:
Assumindo que não há dependência de
e que
(para simplificar), temos:
Substituindo
da etapa anterior:
Simplificando:
Passo 6
Vamos reorganizar a expressão para isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Vamos chamar
e simplificar:
Passo 7
Agora, para encontrar
em função de
, vamos separar as variáveis e integrar:
Integrando ambos os lados:
Resposta
Assim, mostramos que a equação radial da solução pode ser obtida através da integral: