Um sistema físico é descrito pela lagragiana
onde são as coordenadas cilíndricas e uma constante. Mostre que a solução equação radial pode ser obtida através da forma integral

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de mecânica lagrangiana, que é uma área da física que estuda o movimento de sistemas físicos usando uma função chamada lagrangiana. No enunciado, a lagrangiana está dada em coordenadas cilíndricas . Nosso objetivo é mostrar que a equação radial pode ser expressa na forma de uma integral específica. Para isso, vamos precisar usar as equações de Euler-Lagrange, que nos ajudam a encontrar as equações de movimento do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas generalizadas e ver se alguma delas é cíclica. No nosso caso, as coordenadas são , e . Uma coordenada é cíclica se a lagrangiana não depender dela explicitamente. Observando a lagrangiana:
Percebemos que não aparece de forma explícita, apenas sua derivada no tempo . Isso significa que é uma coordenada cíclica, e, por consequência, a momenta conjugada correspondente a é uma constante de movimento.

Passo 3

Vamos calcular a momenta conjugada para . A momenta conjugada é dada por:
Calculando:
Como é cíclica, é uma constante, que podemos chamar de :

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para isolar :

Passo 5

Agora, vamos usar o princípio da conservação da energia. A energia total do sistema é a função de Hamilton, que para sistemas conservativos é igual à lagrangiana vezes menos a lagrangiana:
Assumindo que não há dependência de e que (para simplificar), temos:
Substituindo da etapa anterior:
Simplificando:

Passo 6

Vamos reorganizar a expressão para isolar :
Multiplicando ambos os lados por :
Vamos chamar e simplificar:

Passo 7

Agora, para encontrar em função de , vamos separar as variáveis e integrar:
Integrando ambos os lados:

Resposta

Assim, mostramos que a equação radial da solução pode ser obtida através da integral:

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