Um sistema físico é descrito pela lagragiana
L=m2(dotrho^2+rho^2 dotphi^2+dotz^2)+a rho^2 dotphi
onde (rho, phi, z) são as coordenadas cilíndricas e a uma constante. Mostre que a solução equação radial pode ser obtida através da forma integral
t=integral d rhoraizalpha-(beta-a rho^2)^2 / m^2 rho^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de mecânica lagrangiana, que é uma área da física que estuda o movimento de sistemas físicos usando uma função chamada lagrangiana. No enunciado, a lagrangiana está dada em coordenadas cilíndricas . Nosso objetivo é mostrar que a equação radial pode ser expressa na forma de uma integral específica. Para isso, vamos precisar usar as equações de Euler-Lagrange, que nos ajudam a encontrar as equações de movimento do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas generalizadas e ver se alguma delas é cíclica. No nosso caso, as coordenadas são L = m2(dotrho^2 + rho^2 dotphi^2 + dotz^2) + a rho^2 dotphi , e . Uma coordenada é cíclica se a lagrangiana não depender dela explicitamente. Observando a lagrangiana:
Percebemos que não aparece de forma explícita, apenas sua derivada no tempo . Isso significa que é uma coordenada cíclica, e, por consequência, a momenta conjugada correspondente a é uma constante de movimento.

Passo 3

Vamos calcular a momenta conjugada para pphi = partial Lpartial dotphi . A momenta conjugada pphi = m rho^2 dotphi + a rho^2 é dada por:
m rho^2 dotphi + a rho^2 = beta
Calculando:
Como é cíclica, é uma constante, que podemos chamar de :

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para isolar m rho^2 dotphi = beta - a rho^2 :
dotphi = beta - a rho^2m rho^2

Passo 5

Agora, vamos usar o princípio da conservação da energia. A energia total E = m2(dotrho^2 + rho^2 dotphi^2 + dotz^2) + a rho^2 dotphi do sistema é a função de Hamilton, que para sistemas conservativos é igual à lagrangiana vezes E = m2(dotrho^2 + rho^2 dotphi^2) + a rho^2 dotphi menos a lagrangiana:
E = m2 dotrho^2 + m2 rho^2 (beta - a rho^2m rho^2)^2 + a rho^2 (beta - a rho^2m rho^2)
Assumindo que não há dependência de E = m2 dotrho^2 + (beta - a rho^2)^22 m rho^2 + a (beta - a rho^2)m e que (para simplificar), temos:
Substituindo da etapa anterior:
Simplificando:

Passo 6

Vamos reorganizar a expressão para isolar m2 dotrho^2 = E - (beta - a rho^2)^22 m rho^2 - a (beta - a rho^2)m :
dotrho^2 = 2Em - (beta - a rho^2)^2m^2 rho^2 - 2a (beta - a rho^2)m^2
Multiplicando ambos os lados por dotrho = drhodt = raizalpha - (beta - a rho^2)^2m^2 rho^2 :
Vamos chamar e simplificar:

Passo 7

Agora, para encontrar dt = drhoraizalpha - (beta - a rho^2)^2m^2 rho^2 em função de t = integral d rhoraizalpha - (beta - a rho^2)^2m^2 rho^2 , vamos separar as variáveis e integrar:
Integrando ambos os lados:

Resposta

Assim, mostramos que a equação radial da solução pode ser obtida através da integral:
t = integral d rhoraizalpha - (beta - a rho^2)^2 / m^2 rho^2

Exercícios relacionados