Um satélite de massa
está em órbita em torno da Terra. O raio da Terra é
e a massa da Terra é
. Considere que
. O satélite encontra-se em uma órbita elíptica. Ele passa a 200 km da superfície da Terra no seu ponto de maior aproximação e passa a 7200 km da superfície da Terra no seu ponto mais afastado. Com base nessas informações, responda as questões a seguir.
d) Calcule o módulo do momento angular
do satélite;
d) Calcule o módulo do momento angular
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre o momento angular de um satélite em órbita elíptica ao redor da Terra. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica orbital, especificamente sobre órbitas elípticas e momento angular. Vamos precisar das informações que o problema nos deu sobre as distâncias mínimas e máximas do satélite em relação à Terra, além dos valores de massa e raio da Terra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o momento angular. Na física, o momento angular
de um objeto em movimento é dado por:
onde:
-
é a massa do objeto, -
é a velocidade perpendicular ao raio, -
é a distância do objeto ao centro da órbita.
Como a órbita é elíptica, o momento angular é constante em qualquer ponto da órbita.
Passo 3
Precisamos encontrar a distância do satélite em seus pontos de maior aproximação (perigeu) e maior afastamento (apogeu) da Terra. Sabendo que o raio da Terra é
:
- No perigeu, a distância total
é :
- No apogeu, a distância total
é :
Passo 4
Em uma órbita elíptica, podemos usar a segunda lei de Kepler, que nos diz que o momento angular
é constante e pode ser calculado em qualquer ponto da órbita. A fórmula para o momento angular em termos dos parâmetros do perigeu e apogeu é:
onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa da Terra, -
é o semi-eixo maior da órbita, -
é a excentricidade da órbita.
No entanto, para simplificar, podemos usar as relações entre
,
e
:
E a excentricidade
é:
Passo 5
Vamos calcular o semi-eixo maior
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a excentricidade
:
Passo 7
Agora, vamos usar a fórmula do momento angular:
Sabemos que
. Podemos rearranjar para encontrar
:
Passo 8
Substituindo os valores na fórmula do momento angular:
Calculando
:
Então:
Passo 9
Vamos multiplicar os valores dentro da raiz:
Então:
Resposta
O módulo do momento angular
do satélite é aproximadamente
.