Um satélite de massa m=10^3 kg está em órbita em torno da Terra. O raio da Terra é R=6,37 times 10^6 m e a massa da Terra é M. Considere que g=G M / R^2=9,81 m / s^2. O satélite encontra-se em uma órbita elíptica. Ele passa a 200 km da superfície da Terra no seu ponto de maior aproximação e passa a 7200 km da superfície da Terra no seu ponto mais afastado. Com base nessas informações, responda as questões a seguir.
d) Calcule o módulo do momento angular L do satélite;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre o momento angular de um satélite em órbita elíptica ao redor da Terra. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica orbital, especificamente sobre órbitas elípticas e momento angular. Vamos precisar das informações que o problema nos deu sobre as distâncias mínimas e máximas do satélite em relação à Terra, além dos valores de massa e raio da Terra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento angular. Na física, o momento angular L = m cdot v cdot r de um objeto em movimento é dado por:
onde:
  • é a massa do objeto,
  • é a velocidade perpendicular ao raio,
  • é a distância do objeto ao centro da órbita.
Como a órbita é elíptica, o momento angular é constante em qualquer ponto da órbita.

Passo 3

Precisamos encontrar a distância do satélite em seus pontos de maior aproximação (perigeu) e maior afastamento (apogeu) da Terra. Sabendo que o raio da Terra é rp = 6,37 times 10^6 + 2 times 10^5 = 6,57 times 10^6 , m :
  • No perigeu, a distância total ra = 6,37 times 10^6 + 7,2 times 10^6 = 13,57 times 10^6 , m é :
  • No apogeu, a distância total é :

Passo 4

Em uma órbita elíptica, podemos usar a segunda lei de Kepler, que nos diz que o momento angular L = m raizG M a (1 - e^2) é constante e pode ser calculado em qualquer ponto da órbita. A fórmula para o momento angular em termos dos parâmetros do perigeu e apogeu é:
a = rp + ra2
onde:
  • e = ra - rpra + rp é a constante gravitacional,
  • é a massa da Terra,
  • é o semi-eixo maior da órbita,
  • é a excentricidade da órbita.
No entanto, para simplificar, podemos usar as relações entre , e :
E a excentricidade é:

Passo 5

Vamos calcular o semi-eixo maior a = 6,57 times 10^6 + 13,57 times 10^62 = 20,14 times 10^62 = 10,07 times 10^6 , m :

Passo 6

Agora, vamos calcular a excentricidade e = 13,57 times 10^6 - 6,57 times 10^613,57 times 10^6 + 6,57 times 10^6 = 7 times 10^620,14 times 10^6 approx 0,347 :

Passo 7

Agora, vamos usar a fórmula do momento angular:
L = m raizG M a (1 - e^2)
Sabemos que G M = 9,81 times (6,37 times 10^6)^2 approx 3,986 times 10^14 , m^3/s^2 . Podemos rearranjar para encontrar :

Passo 8

Substituindo os valores na fórmula do momento angular:
L = 10^3 times raiz3,986 times 10^14 times 10,07 times 10^6 times (1 - 0,347^2)
Calculando 1 - 0,347^2 approx 1 - 0,120 = 0,880 :
L = 10^3 times raiz3,986 times 10^14 times 10,07 times 10^6 times 0,880
Então:

Passo 9

Vamos multiplicar os valores dentro da raiz:
3,986 times 10^14 times 10,07 times 10^6 times 0,880 approx 3,986 times 10^14 times 10,07 times 10^6 times 0,880 approx 3,54 times 10^21 , m^4/s^2
Então:
L = 10^3 times raiz3,54 times 10^21 approx 10^3 times 5,95 times 10^10 approx 5,95 times 10^13 , kg cdot m^2/s

Resposta

O módulo do momento angular do satélite é aproximadamente .

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