A partir do conceito de trabalho realizado por uma força sobre uma partícula de massa m entre dois pontos fixos do espaço de definição do problema físico, faça o que é solicitado:
a) Mostre que se a força resultante, F, é dada por F=-k x imath, a energia mecânica é conservada ( k é uma constante positiva, a constante da mola). Se a força resultante for F=-k x imath+rho dotx imath(dotx= d xd t e rho constante positiva), a energia mecânica continua sendo conservada? Justifique. (1,5)

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício sobre energia mecânica e forças. Basicamente, a gente tem uma partícula de massa m submetida a uma força resultante. Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido:
a) Mostrar que, se a força resultante é F = -k x imath, a energia mecânica é conservada. Depois, verificar se a energia mecânica continua conservada quando a força resultante muda para F = -k x imath + rho dotx imath, onde rho é uma constante positiva.
Para isso, vamos usar conceitos de trabalho, energia cinética, energia potencial e entender o que são forças conservativas e não conservativas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a força F = -k x imath. Essa é uma força típica de uma mola, onde k é a constante da mola e x é a posição da partícula em relação ao ponto de equilíbrio.
Uma força é conservativa se o trabalho que ela realiza depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido. A força da mola é um exemplo clássico de força conservativa.

Passo 3

Como a força F = -k x imath é conservativa, podemos associar a ela uma energia potencial, que no caso é:
U(x) = 12 k x^2
A energia cinética da partícula é dada por:
K = 12 m dotx^2
A energia mecânica total do sistema é a soma da energia cinética e da energia potencial:
Em = K + U = 12 m dotx^2 + 12 k x^2

Passo 4

Como a única força presente é a força conservativa da mola, não há perda ou ganho de energia mecânica no sistema. Isso significa que a energia mecânica total Em permanece constante durante todo o movimento da partícula. Portanto, a energia mecânica é conservada.

Passo 5

Agora, vamos adicionar a segunda força: rho dotx imath. Essa força é proporcional à velocidade dotx e atua na direção do movimento. Ela representa uma força de resistência, como o atrito viscoso.
Essa força é não conservativa porque o trabalho realizado por ela depende do caminho e geralmente resulta em dissipação de energia, transformando energia mecânica em calor.

Passo 6

A força resultante agora é:
F = -k x imath + rho dotx imath
Aqui, temos uma força conservativa ( -k x imath) e uma força não conservativa ( rho dotx imath).
Devido à presença da força não conservativa, a energia mecânica total do sistema não permanece constante. A força de resistência faz com que parte da energia mecânica seja dissipada, geralmente convertida em calor, o que diminui a energia cinética e potencial da partícula ao longo do tempo.

Resposta

Quando a força resultante é F = -k x imath, a energia mecânica é conservada. No entanto, ao adicionar a força rho dotx imath, que é não conservativa, a energia mecânica deixa de ser conservada devido à dissipação de energia.

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