A partir do conceito de trabalho realizado por uma força sobre uma partícula de massa m entre dois pontos fixos do espaço de definição do problema físico, faça o que é solicitado:
c) Verdadeiro ou falso (com demonstração ou contra-exemplo)
i) Se a força resultante for unidimensional, dependente apenas da posição x, isto é, se F=F(x) imath, o trabalho realizado pela força é conservativo (1,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre trabalho realizado por uma força sobre uma partícula. O enunciado pergunta se, quando a força é unidimensional e depende só da posição $ x $, ou seja, $ \vec{F} = F(x) \hat{\imath} $, o trabalho dessa força é conservativo. Vamos precisar entender o que significa uma força ser conservativa e como isso se aplica nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma força conservativa. Uma força é chamada de conservativa se o trabalho que ela realiza sobre uma partícula que se move de um ponto a outro não depende do caminho seguido, mas apenas da posição inicial e final. Exemplos clássicos de forças conservativas são a força gravitacional e a força elástica de uma mola ideal.

Passo 3

Agora, como a força $ \vec{F} = F(x) \hat{\imath} $ depende apenas da posição $ x $ e é unidimensional, isso já nos dá uma pista. Em uma dimensão, se a força depende somente da posição, podemos sempre encontrar uma função potencial $ V(x) $ tal que $ F(x) = -\frac{dV}{dx} $. Essa relação é a chave para determinar se a força é conservativa.

Passo 4

Vamos verificar se conseguimos definir essa função potencial. Integrando a força em relação a $ x $, temos:
x
onde $ C $ é uma constante de integração. Como conseguimos expressar $ V(x) $ dessa forma, isso confirma que a força $ F(x) \hat{\imath} $ é derivada de um potencial escalar. Portanto, essa força é conservativa.

Resposta

Verdadeiro. Quando a força é unidimensional e depende apenas da posição $ x $, ela é conservativa.

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