(valor 3,0). A molécula de HCl (ácido clorídrico) é polar, porque se forma um polo negativo no cloro devido ao acúmulo de carga negativa e, consequentemente, o lado do hidrogênio tende a ficar com carga positiva acumulada, formando um polo positivo (o momento de dipolo da molécula HCl é 1,08 Debye (1 D =
)). Então, moléculas polares tem um momento de dipolo elétrico
, sendo
a carga do dipolo e
a distância entre os centros das cargas.
A partir do Potencial encontrado para
, determine o vetor Campo Elétrico no mesmo ponto
. Faça a análise vetorial.
A partir do Potencial encontrado para
Passo 1
Entendendo o Problema
Vamos analisar o enunciado juntos! A questão fala sobre a molécula de HCl (ácido clorídrico), que é polar. Isso significa que ela tem um pólo negativo no cloro e um pólo positivo no hidrogênio, criando um momento de dipolo elétrico. O momento de dipolo
é dado por:
onde:
-
é a carga do dipolo, -
é a distância entre os centros das cargas.
Foi dado que o momento de dipolo
Debye, e sabemos que
.
O exercício pede para, a partir do potencial
encontrado para
(onde
é a distância do ponto
à molécula e
é metade da distância entre as cargas), determinar o vetor Campo Elétrico
no mesmo ponto
. Além disso, devemos fazer uma análise vetorial dessa expressão.
Para resolver, vamos precisar das seguintes ferramentas:
- Relação entre o potencial elétrico
e o campo elétrico , - Conhecimento sobre dipolos elétricos,
- Cálculo vetorial básico.
Passo 2
Relacionando Potencial e Campo Elétrico
Primeiro, precisamos lembrar como o campo elétrico está relacionado com o potencial elétrico. A relação fundamental é:
Isso significa que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial. O operador
(nabla) representa a derivada espacial, ou seja, como o potencial muda no espaço.
No caso de um dipolo elétrico, para
, o potencial
no ponto
é dado por:
onde:
-
é o momento de dipolo, -
é o vetor posição do ponto em relação ao centro do dipolo, -
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Calculando o Campo Elétrico a Partir do Potencial
Vamos aplicar a relação
ao potencial do dipolo que mencionamos.
Primeiro, substituímos
:
Podemos tirar a constante
para fora da derivada:
Para calcular o gradiente dessa expressão, usamos a identidade vetorial para o campo de um dipolo:
Substituindo de volta na expressão do
:
Reorganizando os sinais:
Passo 4
Análise Vetorial do Campo Elétrico do Dipolo
Vamos entender melhor a expressão que encontramos para
:
Essa expressão pode ser interpretada da seguinte forma:
-
Primeiro Termo (
): - Este termo representa a contribuição do dipolo alinhado com a direção do vetor posição
. - A parte
é o produto escalar entre o momento de dipolo e o vetor posição, que mede o quanto eles estão alinhados. - Multiplicando por
e dividindo por ajusta a direção e a magnitude dessa contribuição.
- Este termo representa a contribuição do dipolo alinhado com a direção do vetor posição
-
Segundo Termo (
): - Representa a contribuição direta do momento de dipolo, independentemente da direção de
. - Este termo decresce com
, indicando que sua influência diminui mais rapidamente com a distância em comparação com o primeiro termo.
- Representa a contribuição direta do momento de dipolo, independentemente da direção de
Interpretação Geral:
- O campo elétrico de um dipolo não é apenas radial (como é o caso de uma carga pontual), mas também depende da orientação do dipolo em relação ao ponto de interesse
. - A combinação dos dois termos fornece uma descrição completa de como o dipolo influencia o campo elétrico ao seu redor.
Passo 5
Simplificando a Expressão do Campo Elétrico
Podemos simplificar a expressão do campo elétrico para deixar mais claro seu comportamento:
Factorando
:
Observando que
é o vetor unitário
:
Essa forma mostra que o campo elétrico do dipolo depende tanto da orientação do dipolo quanto da direção do ponto
.
Passo 6
Expressando o Campo Elétrico Final
Finalmente, temos a expressão completa para o campo elétrico
devido a um dipolo elétrico no ponto
:
Componentes da Expressão:
-
: Fator que depende da distância do ponto à molécula e das propriedades do vácuo. -
: Termo que ajusta a magnitude e direção do campo com base na projeção do dipolo na direção de . -
: Termo que representa a contribuição direta do dipolo.
Essa expressão mostra como o campo elétrico de um dipolo decresce com o cubo da distância e depende da orientação relativa entre o dipolo e o ponto onde o campo está sendo calculado.
Resposta
O vetor Campo Elétrico no ponto
é dado por:
Essa expressão descreve como o campo elétrico de um dipolo elétrico varia com a distância e a orientação em relação ao ponto considerado.