(valor 3,0). A molécula de HCl (ácido clorídrico) é polar, porque se forma um polo negativo no cloro devido ao acúmulo de carga negativa e, consequentemente, o lado do hidrogênio tende a ficar com carga positiva acumulada, formando um polo positivo (o momento de dipolo da molécula HCl é 1,08 Debye (1 D = 3,33564 times 10^-30 Cm )). Então, moléculas polares tem um momento de dipolo elétrico p=2 a q, sendo q a carga do dipolo e 2 a a distância entre os centros das cargas.
A partir do Potencial encontrado para r>>a, determine o vetor Campo Elétrico no mesmo ponto P. Faça a análise vetorial.

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos analisar o enunciado juntos! A questão fala sobre a molécula de HCl (ácido clorídrico), que é polar. Isso significa que ela tem um pólo negativo no cloro e um pólo positivo no hidrogênio, criando um momento de dipolo elétrico. O momento de dipolo p = 2a cdot q é dado por:
onde:
  • é a carga do dipolo,
  • é a distância entre os centros das cargas.
Foi dado que o momento de dipolo Debye, e sabemos que .
O exercício pede para, a partir do potencial encontrado para (onde é a distância do ponto à molécula e é metade da distância entre as cargas), determinar o vetor Campo Elétrico no mesmo ponto . Além disso, devemos fazer uma análise vetorial dessa expressão.
Para resolver, vamos precisar das seguintes ferramentas:
  • Relação entre o potencial elétrico e o campo elétrico ,
  • Conhecimento sobre dipolos elétricos,
  • Cálculo vetorial básico.

Passo 2

Relacionando Potencial e Campo Elétrico
Primeiro, precisamos lembrar como o campo elétrico está relacionado com o potencial elétrico. A relação fundamental é:
E = -nabla V
Isso significa que o campo elétrico é o gradiente negativo do potencial. O operador V = 14pivarepsilon0 cdot p cdot rr^3 (nabla) representa a derivada espacial, ou seja, como o potencial muda no espaço.
No caso de um dipolo elétrico, para , o potencial no ponto é dado por:
onde:
  • é o momento de dipolo,
  • é o vetor posição do ponto em relação ao centro do dipolo,
  • é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Calculando o Campo Elétrico a Partir do Potencial
Vamos aplicar a relação E = -nabla ( 14pivarepsilon0 cdot p cdot rr^3 ) ao potencial do dipolo que mencionamos.
Primeiro, substituímos E = -14pivarepsilon0 nabla ( p cdot rr^3 ) :
nabla ( p cdot rr^3 ) = 3r(p cdot r)r^5 - pr^3
Podemos tirar a constante E = -14pivarepsilon0 ( 3r(p cdot r)r^5 - pr^3 ) para fora da derivada:
E = 14pivarepsilon0 ( 3r(p cdot r)r^5 - pr^3 )
Para calcular o gradiente dessa expressão, usamos a identidade vetorial para o campo de um dipolo:
Substituindo de volta na expressão do :
Reorganizando os sinais:

Passo 4

Análise Vetorial do Campo Elétrico do Dipolo
Vamos entender melhor a expressão que encontramos para E = 14pivarepsilon0 ( 3r(p cdot r)r^5 - pr^3 ) :
Essa expressão pode ser interpretada da seguinte forma:
  1. Primeiro Termo ( ):
    • Este termo representa a contribuição do dipolo alinhado com a direção do vetor posição .
    • A parte é o produto escalar entre o momento de dipolo e o vetor posição, que mede o quanto eles estão alinhados.
    • Multiplicando por e dividindo por ajusta a direção e a magnitude dessa contribuição.
  2. Segundo Termo ( ):
    • Representa a contribuição direta do momento de dipolo, independentemente da direção de .
    • Este termo decresce com , indicando que sua influência diminui mais rapidamente com a distância em comparação com o primeiro termo.
Interpretação Geral:
  • O campo elétrico de um dipolo não é apenas radial (como é o caso de uma carga pontual), mas também depende da orientação do dipolo em relação ao ponto de interesse .
  • A combinação dos dois termos fornece uma descrição completa de como o dipolo influencia o campo elétrico ao seu redor.

Passo 5

Simplificando a Expressão do Campo Elétrico
Podemos simplificar a expressão do campo elétrico para deixar mais claro seu comportamento:
E = 14pivarepsilon0 ( 3(p cdot r)rr^5 - pr^3 )
Factorando E = 14pivarepsilon0 r^3 ( 3(p cdot r)rr^2 - p ) :
E = 14pivarepsilon0 r^3 ( 3 (p cdot r) r - p )
Observando que é o vetor unitário :
Essa forma mostra que o campo elétrico do dipolo depende tanto da orientação do dipolo quanto da direção do ponto .

Passo 6

Expressando o Campo Elétrico Final
Finalmente, temos a expressão completa para o campo elétrico E = 14pivarepsilon0 r^3 ( 3 (p cdot r) r - p ) devido a um dipolo elétrico no ponto :
Componentes da Expressão:
  • : Fator que depende da distância do ponto à molécula e das propriedades do vácuo.
  • : Termo que ajusta a magnitude e direção do campo com base na projeção do dipolo na direção de .
  • : Termo que representa a contribuição direta do dipolo.
Essa expressão mostra como o campo elétrico de um dipolo decresce com o cubo da distância e depende da orientação relativa entre o dipolo e o ponto onde o campo está sendo calculado.

Resposta

O vetor Campo Elétrico no ponto E = 14pivarepsilon0 r^3 ( 3 (p cdot r) r - p ) é dado por:
Essa expressão descreve como o campo elétrico de um dipolo elétrico varia com a distância e a orientação em relação ao ponto considerado.

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