Seja f(x) = 2x^5 - x^4 + 2x^3 + 3x^2 - 15x + 14. Encontre f'(x), f''(x), f'''(x) e f^(i v)(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função polinomial e precisa encontrar as suas derivadas de primeira, segunda, terceira e quarta ordem ( , , e ). Para isso, vamos usar as regras de diferenciação de polinômios, que basicamente envolvem multiplicar o coeficiente do termo pelo seu expoente e diminuir o expoente em 1.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . A regra básica para derivar um termo da forma é multiplicar pelo expoente e diminuir o expoente em 1, ou seja, .
Aplicando isso a cada termo da função:
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada derivando novamente .
Usando a mesma regra:
Então:

Passo 4

Vamos continuar e encontrar a terceira derivada derivando .
Aplicando a regra de diferenciação:
Assim, temos:

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a quarta derivada derivando .
Novamente, aplicamos a regra de diferenciação:
Portanto:

Resposta

As derivadas da função são:

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