Se o sistema solar está envolvido em uma nuvem uniforme de poeira de densidade , mostre que a lei de força sobre um planeta à distância do centro do sol é dada por:

Passo 1

Beleza, vamos dar um panorama do que o exercício está pedindo. A gente tem o sistema solar rodeado por uma nuvem uniforme de poeira com densidade . O objetivo aqui é mostrar como fica a força total agindo sobre um planeta que está a uma distância do centro do Sol. Para isso, vamos precisar entender a Lei da Gravitação Universal e como a presença dessa nuvem de poeira influencia a força gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que diz que a força gravitacional entre dois corpos é dada por:
Aqui, é a constante gravitacional, é a massa do Sol, é a massa do planeta, e é a distância entre eles. O sinal negativo indica que a força é atrativa.

Passo 3

Agora, além da força gravitacional entre o Sol e o planeta, temos a influência da nuvem de poeira. Essa nuvem uniforme de densidade vai exercer uma força adicional sobre o planeta. Para calcular essa força extra, precisamos considerar a massa da poeira que está agindo sobre o planeta.

Passo 4

A massa da poeira que influencia o planeta pode ser calculada considerando o volume da esfera de raio e a densidade . O volume de uma esfera é dado por:
Multiplicando pelo densidade, a massa da poeira dentro dessa esfera é:

Passo 5

Agora, aplicando novamente a Lei da Gravitação Universal para essa massa de poeira, a força gravitacional adicional sobre o planeta é:
Simplificando a expressão:

Passo 6

Finalmente, para obter a força total agindo sobre o planeta, a gente soma a força gravitacional do Sol com a força adicional da poeira:

Resposta

Portanto, a lei de força sobre um planeta a uma distância do centro do Sol, considerando a nuvem uniforme de poeira, é dada por:

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