Se o sistema solar está envolvido em uma nuvem uniforme de poeira de densidade rho, mostre que a lei de força sobre um planeta à distância r do centro do sol é dada por:
F(r)=-G M mr^2-(43) pi rho m G r

Passo 1

Beleza, vamos dar um panorama do que o exercício está pedindo. A gente tem o sistema solar rodeado por uma nuvem uniforme de poeira com densidade rho. O objetivo aqui é mostrar como fica a força total agindo sobre um planeta que está a uma distância r do centro do Sol. Para isso, vamos precisar entender a Lei da Gravitação Universal e como a presença dessa nuvem de poeira influencia a força gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que diz que a força gravitacional F entre dois corpos é dada por:
F = -G M mr^2
Aqui, G é a constante gravitacional, M é a massa do Sol, m é a massa do planeta, e r é a distância entre eles. O sinal negativo indica que a força é atrativa.

Passo 3

Agora, além da força gravitacional entre o Sol e o planeta, temos a influência da nuvem de poeira. Essa nuvem uniforme de densidade rho vai exercer uma força adicional sobre o planeta. Para calcular essa força extra, precisamos considerar a massa da poeira que está agindo sobre o planeta.

Passo 4

A massa da poeira que influencia o planeta pode ser calculada considerando o volume da esfera de raio r e a densidade rho. O volume V de uma esfera é dado por:
V = 43 pi r^3
Multiplicando pelo densidade, a massa Mpoeira da poeira dentro dessa esfera é:
Mpoeira = rho V = rho ( 43 pi r^3 )

Passo 5

Agora, aplicando novamente a Lei da Gravitação Universal para essa massa de poeira, a força gravitacional adicional Fpoeira sobre o planeta é:
Fpoeira = -G Mpoeira mr^2 = -G ( 43 pi rho r^3 ) mr^2
Simplificando a expressão:
Fpoeira = -( 43 pi rho G r ) m

Passo 6

Finalmente, para obter a força total F(r) agindo sobre o planeta, a gente soma a força gravitacional do Sol com a força adicional da poeira:
F(r) = -G M mr^2 - ( 43 pi rho G r ) m

Resposta

Portanto, a lei de força sobre um planeta a uma distância r do centro do Sol, considerando a nuvem uniforme de poeira, é dada por:
F(r) = -G M mr^2 - ( 43 ) pi rho m G r

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