Se o sistema solar está envolvido em uma nuvem uniforme de poeira de densidade
, mostre que a lei de força sobre um planeta à distância
do centro do sol é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos dar um panorama do que o exercício está pedindo. A gente tem o sistema solar rodeado por uma nuvem uniforme de poeira com densidade
. O objetivo aqui é mostrar como fica a força total agindo sobre um planeta que está a uma distância
do centro do Sol. Para isso, vamos precisar entender a Lei da Gravitação Universal e como a presença dessa nuvem de poeira influencia a força gravitacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que diz que a força gravitacional
entre dois corpos é dada por:
Aqui,
é a constante gravitacional,
é a massa do Sol,
é a massa do planeta, e
é a distância entre eles. O sinal negativo indica que a força é atrativa.
Passo 3
Agora, além da força gravitacional entre o Sol e o planeta, temos a influência da nuvem de poeira. Essa nuvem uniforme de densidade
vai exercer uma força adicional sobre o planeta. Para calcular essa força extra, precisamos considerar a massa da poeira que está agindo sobre o planeta.
Passo 4
A massa da poeira que influencia o planeta pode ser calculada considerando o volume da esfera de raio
e a densidade
. O volume
de uma esfera é dado por:
Multiplicando pelo densidade, a massa
da poeira dentro dessa esfera é:
Passo 5
Agora, aplicando novamente a Lei da Gravitação Universal para essa massa de poeira, a força gravitacional adicional
sobre o planeta é:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Finalmente, para obter a força total
agindo sobre o planeta, a gente soma a força gravitacional do Sol com a força adicional da poeira:
Resposta
Portanto, a lei de força sobre um planeta a uma distância
do centro do Sol, considerando a nuvem uniforme de poeira, é dada por:
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