Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre convergência de séries, especialmente os conceitos de convergência absoluta e convergência condicional. Também vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para determinar a convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a convergência absoluta da série. Isso significa que vamos considerar a série sem o termo alternante, ou seja, vamos examinar . Simplificando, isso fica .
Passo 3
Agora, para verificar se essa série converge, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries observando o limite da razão entre termos sucessivos. A fórmula do Teste da Razão é:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge absolutamente; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular esse limite para a nossa série:
an = 2^nn!
Então,
an+1an = 2^n+1/(n+1)!2^n/n! = 2^n+1(n+1)! times n!2^n = 2n+1
Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty 2n+1 = 0 tende ao infinito:
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.