Um passageiro corre à sua velocidade máxima de 7 m / s para pegar um trem. Quando está a distância d da porta de entrada, o trem começa a se movimentar com aceleração igual a 1 m / s^2, afastando-se
Na condição do item (b) qual a velocidade do trem no instante em que o passageiro consegue pegálo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um passageiro que está correndo para pegar um trem. Ele corre a uma velocidade máxima de 7 e está a uma distância da porta de entrada do trem. No momento em que ele está a essa distância , o trem começa a se mover com uma aceleração de . A gente precisa descobrir qual é a velocidade do trem no instante em que o passageiro consegue pegá-lo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento uniformemente acelerado e movimento retilíneo uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os movimentos envolvidos. O passageiro está se movendo com velocidade constante de , enquanto o trem está acelerando a a partir do repouso. Queremos encontrar o tempo que leva para o passageiro alcançar o trem.

Passo 3

Vamos chamar o tempo que o passageiro leva para pegar o trem de s = 12 a t^2 . Nesse tempo, o passageiro terá percorrido uma distância igual a . Enquanto isso, o trem, que parte do repouso e acelera a , vai percorrer uma distância dada pela fórmula do movimento uniformemente acelerado:
Onde é a distância percorrida pelo trem.

Passo 4

Como o passageiro está a uma distância 7t = 12 t^2 + d do trem, para ele conseguir pegá-lo, a distância que ele percorre deve ser igual à distância que o trem percorre mais os iniciais. Então, podemos escrever:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o tempo .

Passo 5

Rearranjando a equação:
12 t^2 - 7t + d = 0
Multiplicando todos os termos por 2 para simplificar:
t^2 - 14t + 2d = 0
Essa é uma equação quadrática na forma , onde , e .

Passo 6

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
t = 14 pm raiz196 - 8d2
Vamos considerar apenas a solução positiva, já que o tempo não pode ser negativo:
t = 14 - raiz196 - 8d2
t = 7 - raiz196 - 8d2

Passo 7

Agora que temos o tempo v = a t , podemos encontrar a velocidade do trem no instante em que o passageiro o pega. A velocidade de um objeto em movimento uniformemente acelerado é dada por:
v = t
Onde , então:
Portanto, a velocidade do trem é igual ao tempo que calculamos.

Resposta

A velocidade do trem no instante em que o passageiro o consegue pegar é:
v = 7 - raiz196 - 8d2 m/s

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