Depois de passar o dia dirigindo, ao anoitecer você vai nadar na piscina do hotel. Ao voltar para o quarto, você nota que perdeu a chave da porta na piscina. Você pede uma lanterna emprestada e começa a procurar as chaves. A luz brilha ao incidir na chave que está no fundo da piscina quando a lanterna está a 1,2 m acima da superfície da água e o ponto de incidência da luz está a uma distância de 1,5 m da beira da piscina. Sabendo que a profundidade da água no fundo da piscina é de 4 m, qual é a distância entre a chave e a beira da piscina? Considere o n ar =1,0 e n água = 1,33

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está nos dizendo e identificar o que precisamos para resolver. Você perdeu a chave na piscina e, ao usar uma lanterna, percebe que a luz reflete na chave que está no fundo da piscina. A lanterna está a 1,2 metros acima da água, e o ponto onde a luz incide está a 1,5 metros da beira da piscina. A piscina tem uma profundidade de 4 metros. Sabemos que o índice de refração do ar é 1,0 e o da água é 1,33. Nosso objetivo é descobrir qual é a distância entre a chave e a beira da piscina.
Vamos precisar usar um pouco de geometria e física, especificamente a Lei da Refração de Snell, que relaciona os ângulos de incidência e refração quando a luz passa de um meio para outro com diferentes índices de refração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine um triângulo onde:
  • A altura do triângulo é a profundidade da piscina, que é 4 metros.
  • A base é a distância horizontal que queremos encontrar entre a chave e a beira da piscina.
  • O ponto de incidência da luz está a 1,5 metros da beira e a lanterna está a 1,2 metros acima da água.
Para facilitar, vamos chamar a distância que queremos descobrir de $ d $.

Passo 3

Agora, vamos considerar a trajetória da luz. A luz sai da lanterna, passa pelo ar e entra na água, refratando-se. A trajetória da luz forma dois triângulos semelhantes:
  1. Um triângulo no ar, formado pela altura da lanterna acima da água (1,2 m) e a distância horizontal ao ponto de incidência (1,5 m).
  2. Um triângulo na água, formado pela profundidade da piscina (4 m) e a distância horizontal $ d $ que queremos encontrar.
Como os triângulos são semelhantes, podemos relacionar os lados correspondentes usando os índices de refração.

Passo 4

Vamos aplicar a Lei de Snell, que é dada por:
nar cdot sin(thetaar) = nagua cdot sin(thetaagua)
Onde:
  • $ n_{ar} = 1,0 $ é o índice de refração do ar.
  • $ n_{agua} = 1,33 $ é o índice de refração da água.
  • $ \theta_{ar} $ é o ângulo de incidência no ar.
  • $ \theta_{agua} $ é o ângulo de refração na água.
Nos triângulos semelhantes, os ângulos nar = 1,0 e nagua = 1,33 estão relacionados pelas distâncias horizontais e verticais.

Passo 5

Podemos expressar os senos dos ângulos em termos das distâncias conhecidas:
sin(thetaar) = 1,2raiz1,2^2 + 1,5^2
sin(thetaagua) = 4raiz4^2 + d^2
Substituindo na Lei de Snell:
1,0 cdot 1,2raiz1,2^2 + 1,5^2 = 1,33 cdot 4raiz4^2 + d^2

Passo 6

Vamos resolver essa equação para encontrar $ d $:
Primeiro, calculamos as raízes:
d
raiz1,2^2 + 1,5^2 = raiz1,44 + 2,25 = raiz3,69 approx 1,92
Substituindo de volta na equação:
raiz4^2 + d^2 = raiz16 + d^2
Simplificando:
1,0 cdot 1,21,92 = 1,33 cdot 4raiz16 + d^2
1,21,92 = 1,33 cdot 4raiz16 + d^2

Passo 7

Agora, isolamos a raiz:
0,6255,32 = 1raiz16 + d^2
0,1174 = 1raiz16 + d^2
Invertemos ambos os lados:
raiz16 + d^2 = 10,1174 approx 8,52

Passo 8

Elevamos ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
16 + d^2 = (8,52)^2
16 + d^2 = 72,6
d^2 = 72,6 - 16
d^2 = 56,6

Passo 9

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ d $:
d

Resposta

A distância entre a chave e a beira da piscina é aproximadamente 7,52 metros.

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