Um pássaro está se movendo numa trajetória descrita pelas coordenadas x e y conforme as equaçöes a seguir:
l x=0,3 cdot t^2+7,2 t+28 y=0,22 cdot t^2-9,1 t+30
No instante t=15 s, qual será o vetor posição r, em notação de vetores unitários e o seu módulo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor posição e o módulo desse vetor para um pássaro que está voando. As coordenadas e do pássaro estão dadas por duas equações que dependem do tempo . Vamos precisar usar funções quadráticas e noções de vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as posições x = 0,3 cdot t^2 + 7,2 cdot t + 28 e x = 0,3 cdot (15)^2 + 7,2 cdot 15 + 28 do pássaro no instante segundos. Para isso, basta substituir por 15 nas equações dadas.
Para :
Substituindo :

Passo 3

Vamos calcular cada parte da equação para 0,3 cdot (15)^2 = 0,3 cdot 225 = 67,5 :
7,2 cdot 15 = 108
x = 67,5 + 108 + 28 = 203,5
Agora somamos tudo:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para y = 0,22 cdot t^2 - 9,1 cdot t + 30 :
y = 0,22 cdot (15)^2 - 9,1 cdot 15 + 30
Substituindo :

Passo 5

Calculando cada parte da equação para 0,22 cdot (15)^2 = 0,22 cdot 225 = 49,5 :
-9,1 cdot 15 = -136,5
y = 49,5 - 136,5 + 30 = -57
Agora somamos tudo:

Passo 6

Com os valores de r = x cdot i + y cdot j = 203,5,i - 57,j e em mãos, podemos construir o vetor posição . Ele é representado usando os vetores unitários e para as direções e , respectivamente.

Passo 7

Agora, vamos encontrar o módulo do vetor |r| = raizx^2 + y^2 , que é basicamente o comprimento desse vetor. A fórmula para o módulo é:
|r| = raiz(203,5)^2 + (-57)^2
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 8

Vamos calcular os quadrados:
(203,5)^2 = 41419,25
(-57)^2 = 3249
Somando:
41419,25 + 3249 = 44668,25
Agora, tiramos a raiz quadrada:
|r| = raiz44668,25 approx 211,34 unidades

Resposta

No instante , o vetor posição é e o seu módulo é aproximadamente unidades.

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