Um pássaro está se movendo numa trajetória descrita pelas coordenadas x e y conforme as equaçöes a seguir:
No instante
, qual será o vetor posição
, em notação de vetores unitários e o seu módulo?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor posição
e o módulo desse vetor para um pássaro que está voando. As coordenadas
e
do pássaro estão dadas por duas equações que dependem do tempo
. Vamos precisar usar funções quadráticas e noções de vetores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as posições
e
do pássaro no instante
segundos. Para isso, basta substituir
por 15 nas equações dadas.
Para
:
Substituindo
:
Passo 3
Vamos calcular cada parte da equação para
:
Agora somamos tudo:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para
:
Substituindo
:
Passo 5
Calculando cada parte da equação para
:
Agora somamos tudo:
Passo 6
Com os valores de
e
em mãos, podemos construir o vetor posição
. Ele é representado usando os vetores unitários
e
para as direções
e
, respectivamente.
Passo 7
Agora, vamos encontrar o módulo do vetor
, que é basicamente o comprimento desse vetor. A fórmula para o módulo é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 8
Vamos calcular os quadrados:
Somando:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Resposta
No instante
, o vetor posição é
e o seu módulo é aproximadamente
unidades.