Passe para coordenadas polares e calcule as integrais.
(d) integral0^1 integral0^raiz1-y^2 x^2+y^2 d x d y

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como converter de coordenadas cartesianas para polares e aplicar as fórmulas de integração apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região de integração. O limite interno vai de 0 até e o limite externo vai de 0 até 1. Isso descreve um quarto de círculo com raio 1 no primeiro quadrante do plano cartesiano.

Passo 3

Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas x = r costheta e y = r sintheta para coordenadas polares . As relações de conversão são:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares se transforma em .

Passo 4

Substituindo na integral original:
x^2 + y^2 = (r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = r^2 (cos^2theta + sin^2theta) = r^2
Portanto, a integral passa a ser:
integraltheta=0^pi2 integralr=0^1 r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^pi2 integral0^1 r^3 , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 :
integral0^pi2 14 , dtheta = 14 cdot [ theta ]0^pi2 = 14 cdot pi2 = pi8
Agora, integramos em :

Resposta

O valor da integral é .

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