Verifique que
é gerado pela rotação em torno do eixo
do conjunto
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um conjunto de pontos no espaço definido por
,
e
. A tarefa é mostrar que o conjunto
é formado ao girar esse conjunto em torno do eixo
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre rotação no espaço tridimensional e como representar pontos após essa rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a rotação de um ponto em torno do eixo
. Quando a gente gira um ponto
em torno do
por um ângulo
, a coordenada
não muda, mas as coordenadas
e
mudam conforme as fórmulas:
No nosso caso, como inicialmente
, isso simplifica as coisas.
Passo 3
Vamos aplicar a rotação nos pontos do conjunto original. Como
, as fórmulas ficam:
Então, após a rotação, cada ponto
vira
. Isso significa que para cada
entre
e
, e para cada
entre
e
, temos um ponto no conjunto
.
Passo 4
Agora, vamos ver como isso forma o conjunto
. Para cada
fixo, ao variar
de
a
, traçamos um círculo no plano
com raio
. Além disso,
varia de
a
, então para cada ponto no círculo, temos uma altura
. Juntando tudo,
é uma superfície obtida ao girar a curva definida por
e
em torno do eixo
.
Resposta
Portanto,
é realmente gerado pela rotação em torno do eixo
do conjunto
.