Verifique que B é gerado pela rotação em torno do eixo z do conjunto
{(x, y, z) | a <= x <= b, y = 0 e 0 <= z <= f(x)}

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um conjunto de pontos no espaço definido por , e . A tarefa é mostrar que o conjunto é formado ao girar esse conjunto em torno do eixo . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre rotação no espaço tridimensional e como representar pontos após essa rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a rotação de um ponto em torno do eixo . Quando a gente gira um ponto em torno do por um ângulo , a coordenada não muda, mas as coordenadas e mudam conforme as fórmulas:
No nosso caso, como inicialmente , isso simplifica as coisas.

Passo 3

Vamos aplicar a rotação nos pontos do conjunto original. Como , as fórmulas ficam:
Então, após a rotação, cada ponto vira . Isso significa que para cada entre e , e para cada entre e , temos um ponto no conjunto .

Passo 4

Agora, vamos ver como isso forma o conjunto . Para cada fixo, ao variar de a , traçamos um círculo no plano com raio . Além disso, varia de a , então para cada ponto no círculo, temos uma altura . Juntando tudo, é uma superfície obtida ao girar a curva definida por e em torno do eixo .

Resposta

Portanto, é realmente gerado pela rotação em torno do eixo do conjunto .

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