A peça de uma máquina consiste de uma barra fina e uniforme de 4,0 kg com 1,50 m de comprimento e esta presa por uma dobradiça perpendicular a uma barra vertical semelhante com massa de 3,0 kg e comprimento de 1,80 m. A barra mais longa possui uma bola pequena, porém densa de 2,0 kg em uma das extremidades. Qual a distância percorrida horizontalmente e verticalmente pelo centro de massa dessa peça caso a barra vertical vire 90° no sentido anti-horário de modo a tomar toda a peça horizontal?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem nesse exercício é uma peça de máquina composta por duas barras e uma bola. A barra horizontal pesa 4,0 kg e tem 1,50 m de comprimento, e a barra vertical pesa 3,0 kg e tem 1,80 m. Na extremidade da barra horizontal, tem uma bola pequena que pesa 2,0 kg. A barra vertical está presa a uma dobradiça que permite ela girar. O lance é que a barra vertical vai girar 90° no sentido anti-horário, fazendo com que toda a peça fique horizontal. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto o centro de massa dessa peça se move horizontal e verticalmente durante esse giro.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de Centro de Massa e como calcular deslocamentos usando a posição inicial e final desse centro. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as partes da peça e seus respectivos centros de massa. Temos três componentes:
  1. Barra Horizontal: Massa = 4,0 kg, Comprimento = 1,50 m
  2. Barra Vertical: Massa = 3,0 kg, Comprimento = 1,80 m
  3. Bola: Massa = 2,0 kg, localizada na extremidade da barra horizontal
O centro de massa de cada barra está no meio dela. Então:
  • Barra Horizontal: Centro a 0,75 m da dobradiça
  • Barra Vertical (antes do giro): Centro a 0,90 m da dobradiça
  • Bola: 1,50 m da dobradiça

Passo 3

Agora, vamos calcular a posição inicial do centro de massa da peça inteira. A posição do centro de massa ($ \vec{R} $) de um sistema de partículas é dada por:
R
Onde:
  • $ M $ é a massa total
  • $ m_i $ é a massa de cada componente
  • $ \vec{r}_i $ é a posição de cada componente
Vamos assumir que a dobradiça está na origem do sistema de coordenadas ($ (0,0) $), com a barra vertical inicialmente ao longo do eixo y positivo.

Passo 4

Calculando a massa total:
M = 4,0,kg + 3,0,kg + 2,0,kg = 9,0,kg
Agora, vamos determinar as posições iniciais dos centros de massa:
  • Barra Horizontal: $ (0, 0,75,m) $
  • Barra Vertical: $ (0, 0,90,m) $
  • Bola: $ (0, 1,50,m) $

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula do centro de massa:
Rinicial = 19,0 (4,0 times 0,75 + 3,0 times 0,90 + 2,0 times 1,50)
Calculando cada termo:
4,0 times 0,75 = 3,0,kg cdot m
3,0 times 0,90 = 2,7,kg cdot m
2,0 times 1,50 = 3,0,kg cdot m
Somando:
3,0 + 2,7 + 3,0 = 8,7,kg cdot m
Então:
Rinicial = 8,7,kg cdot m9,0,kg = 0,967,m ao longo do eixo y

Passo 6

Agora, depois que a barra vertical gira 90°, ela passa a ficar na posição horizontal. Vamos determinar as novas posições dos centros de massa após o giro.
  • Barra Vertical girada (agora horizontal): O centro de massa agora está a 0,90 m no eixo x
  • Barra Horizontal: Continua na posição horizontal, então seu centro de massa permanece a 0,75 m no eixo x
  • Bola: Agora está a 1,50 m no eixo x

Passo 7

Vamos calcular a nova posição do centro de massa após o giro:
Rfinal = 19,0 (4,0 times 0,75 + 3,0 times 0,90 + 2,0 times 1,50)
Notamos que os valores são os mesmos do cálculo inicial, mas agora todos estão ao longo do eixo x:
Rfinal = 8,7,kg cdot m9,0,kg = 0,967,m ao longo do eixo x

Passo 8

Agora, vamos determinar o deslocamento do centro de massa. Inicialmente, ele estava a 0,967 m no eixo y. Após o giro, está a 0,967 m no eixo x. O deslocamento horizontal e vertical são as diferenças entre as posições final e inicial.
  • Deslocamento Horizontal: $ 0,967,m $ (passou de 0,0 para 0,967 m)
  • Deslocamento Vertical: De 0,967 m no eixo y para 0,0 m, então $ -0,967,m $
Como estamos interessados apenas nas distâncias percorridas, consideramos os valores absolutos.

Resposta

O centro de massa da peça percorre 0,967 metros horizontalmente e 0,967 metros verticalmente durante o giro.

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