Uma das peças automotivas produzidas pela Qualipeçauto deve ter comprimento com média de 23 milímetros e desvio padrão de no máximo 0,2 milímetros. A empresa tem conseguido manter o desvio padrão do comprimento das peças em 0,15 milímetros, mas algumas vezes problemas no processo de produção fazem com que as peças não sejam produzidas com o comprimento médio especificado. Para evitar reclamações, a área de qualidade da empresa, seleciona periodicamente uma amostra aleatória de n peças produzidas e verifica o comprimento dessas peças.
a) Qual deve ser o valor de n, para que o erro amostral da média não supere 0,05 milímetros, para mais ou para menos, em
das vezes que a área de qualidade verificar a produção?
a) Qual deve ser o valor de n, para que o erro amostral da média não supere 0,05 milímetros, para mais ou para menos, em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre determinar quantas peças (n) precisamos medir para garantir que, na média, o erro não passe de 0,05 milímetros para mais ou para menos, com 98% de confiança. Estamos trabalhando com estatística, especificamente com estimação da média e intervalos de confiança. Vamos precisar usar conceitos como desvio padrão, intervalo de confiança e tamanho de amostra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o erro amostral da média. O erro amostral (E) é a margem de erro que queremos que a média da nossa amostra esteja em relação à média verdadeira da população. No caso, queremos que E seja no máximo 0,05 milímetros.
Passo 3
Para calcular o tamanho da amostra necessário, usamos a fórmula do erro amostral:
Onde:
-
é o erro amostral (0,05 mm) -
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança (98%) -
é o desvio padrão da população (0,15 mm) -
é o tamanho da amostra que queremos encontrar
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
que corresponde a um nível de confiança de 98%. Consultando a tabela da distribuição normal, encontramos que
é aproximadamente 2,326 para 98% de confiança.
Passo 5
Agora, vamos rearranjar a fórmula para resolver
:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos calcular o numerador primeiro:
Agora, dividimos pelo erro amostral:
Passo 7
Elevamos esse resultado ao quadrado para encontrar
:
Passo 8
Como não podemos ter uma fração de peça, arredondamos para cima o valor de
:
Resposta
O tamanho da amostra necessário é de 49 peças.