Uma das peças automotivas produzidas pela Qualipeçauto deve ter comprimento com média de 23 milímetros e desvio padrão de no máximo 0,2 milímetros. A empresa tem conseguido manter o desvio padrão do comprimento das peças em 0,15 milímetros, mas algumas vezes problemas no processo de produção fazem com que as peças não sejam produzidas com o comprimento médio especificado. Para evitar reclamações, a área de qualidade da empresa, seleciona periodicamente uma amostra aleatória de n peças produzidas e verifica o comprimento dessas peças.
a) Qual deve ser o valor de n, para que o erro amostral da média não supere 0,05 milímetros, para mais ou para menos, em
das vezes que a área de qualidade verificar a produção?
a) Qual deve ser o valor de n, para que o erro amostral da média não supere 0,05 milímetros, para mais ou para menos, em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre determinar quantas peças (n) precisamos medir para garantir que, na média, o erro não passe de 0,05 milímetros para mais ou para menos, com 98% de confiança. Estamos trabalhando com estatística, especificamente com estimação da média e intervalos de confiança. Vamos precisar usar conceitos como desvio padrão, intervalo de confiança e tamanho de amostra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o erro amostral da média. O erro amostral (E) é a margem de erro que queremos que a média da nossa amostra esteja em relação à média verdadeira da população. No caso, queremos que E seja no máximo 0,05 milímetros.
Passo 3
Para calcular o tamanho da amostra necessário, usamos a fórmula do erro amostral:
Onde:
-
é o erro amostral (0,05 mm) -
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança (98%) -
é o desvio padrão da população (0,15 mm) -
é o tamanho da amostra que queremos encontrar
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
que corresponde a um nível de confiança de 98%. Consultando a tabela da distribuição normal, encontramos que
é aproximadamente 2,326 para 98% de confiança.
Passo 5
Agora, vamos rearranjar a fórmula para resolver
:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos calcular o numerador primeiro:
Agora, dividimos pelo erro amostral:
Passo 7
Elevamos esse resultado ao quadrado para encontrar
:
Passo 8
Como não podemos ter uma fração de peça, arredondamos para cima o valor de
:
Resposta
O tamanho da amostra necessário é de 49 peças.
Exercícios relacionados
Seja X a quantidade de uma toxina produzida por um determinado fungo no milho após 10 dias de incubação em
e assuma que X tem distribuição normal. Definamos e
como sendo o erro amostral da média. Suponha que a variância de X seja 400 (
.
e) Qual deve ser o tamanho da amostra para que dos erros amostrais absolutos sejam inferiores a
?
e) Qual deve ser o tamanho da amostra para que
Quatro técnicos realizam seis determinações de concentração de amônia contida em uma solução. Os resultados obtidos são apresentados na tabela a seguir.
Técnico | Concentração de Amôna (%) | |||||
---|---|---|---|---|---|---|
A | 20,2 | 19,9 | 20,1 | 20,4 | 20,2 | 20,4 |
B | 19,9 | 20,2 | 19,5 | 20,4 | 19,4 | 20,0 |
C | 20,6 | 20,5 | 20,7 | 20,6 | 20,8 | 21,0 |
D | 20,1 | 19,9 | 20,2 | 19,9 | 21,1 | 20,0 |
a) Compare as determinações dos técnicos usando medidas de centro e variabilidade e construindo um diagrama de pontos (dotplot).
Um pesquisador deseja estudar o efeito de certa substância no tempo de reação de seres vivos a um certo tipo de estímulo. Um experimento é desenvolvido com cobaias que são inoculadas com a substância e submetidas a um estímulo elétrico, com seus tempos de reação (em segundos) anotados. Os seguintes valores foram observados: 9,1; 9,3; 7,2; 7,5; 13,3;10,9; 7,2; 9,9; 8,0; 8,6. Admite-se que o tempo de reação segue, em geral, o modelo normal com média 8 e desvio-padrão
segundos. O pesquisador desconfia, entretanto, que o tempo médio sofre alteração por influência da substância. Neste caso, as hipóteses de interesse são:
: o tempo médio de reação padrão não muda com a administração da substância
: o tempo médio de reação padrão muda com a administração da substância
b) Qual o significado dos erros do tipo I e do tipo II para o problema?
b) Qual o significado dos erros do tipo I e do tipo II para o problema?
Numa pesquisa a respeito da estatura de recém-nascidos foi observada uma amostra com 21 bebês, tendo sido observados os resultados abaixo. Valores históricos indicam que a estatura média das crianças é de 51 cm com variância
. Verifique se ocorreu alguma mudança na estatura média das crianças nascidas neste hospital.
Dados: e
b) Qual a conclusão a respeito do tamanho dos bebês? Conduza o teste de hipótese a partir do cálculo do valor-p e considere um nível de significância de .
Dados:
b) Qual a conclusão a respeito do tamanho dos bebês? Conduza o teste de hipótese a partir do cálculo do valor-p e considere um nível de significância de