Uma das peças automotivas produzidas pela Qualipeçauto deve ter comprimento com média de 23 milímetros e desvio padrão de no máximo 0,2 milímetros. A empresa tem conseguido manter o desvio padrão do comprimento das peças em 0,15 milímetros, mas algumas vezes problemas no processo de produção fazem com que as peças não sejam produzidas com o comprimento médio especificado. Para evitar reclamações, a área de qualidade da empresa, seleciona periodicamente uma amostra aleatória de n peças produzidas e verifica o comprimento dessas peças.
a) Qual deve ser o valor de n, para que o erro amostral da média não supere 0,05 milímetros, para mais ou para menos, em 98 % das vezes que a área de qualidade verificar a produção?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre determinar quantas peças (n) precisamos medir para garantir que, na média, o erro não passe de 0,05 milímetros para mais ou para menos, com 98% de confiança. Estamos trabalhando com estatística, especificamente com estimação da média e intervalos de confiança. Vamos precisar usar conceitos como desvio padrão, intervalo de confiança e tamanho de amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o erro amostral da média. O erro amostral (E) é a margem de erro que queremos que a média da nossa amostra esteja em relação à média verdadeira da população. No caso, queremos que E seja no máximo 0,05 milímetros.

Passo 3

Para calcular o tamanho da amostra necessário, usamos a fórmula do erro amostral:
Onde:
  • é o erro amostral (0,05 mm)
  • é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança (98%)
  • é o desvio padrão da população (0,15 mm)
  • é o tamanho da amostra que queremos encontrar

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde a um nível de confiança de 98%. Consultando a tabela da distribuição normal, encontramos que é aproximadamente 2,326 para 98% de confiança.

Passo 5

Agora, vamos rearranjar a fórmula para resolver :
Substituindo os valores que temos:

Passo 6

Vamos calcular o numerador primeiro:
Agora, dividimos pelo erro amostral:

Passo 7

Elevamos esse resultado ao quadrado para encontrar :

Passo 8

Como não podemos ter uma fração de peça, arredondamos para cima o valor de :

Resposta

O tamanho da amostra necessário é de 49 peças.

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