Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
; ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
é a esfera com centro na origem e raio
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é uma esfera de raio
centrada na origem. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que relaciona a integral de superfície do fluxo de
com a integral tripla da divergência de
sobre o volume limitado por
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a divergência do campo vetorial
. A divergência de
, denotada por
, é dada por:
Calculando cada derivada parcial:
Assim, a divergência é:
Passo 3
Sabemos que na esfera de raio
, a equação
é válida. Substituindo isso na expressão da divergência:
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral tripla da divergência sobre o volume da esfera. Em coordenadas esféricas,
e o elemento de volume é
. Portanto, a integral fica:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Calculando cada integral separadamente:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Passo 6
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
O fluxo de
através da esfera
é igual a zero.
Exercícios relacionados
Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
; ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro
e pelos planos
e
Prove, usando o Princípio da Indução Finita, que as afirmações a seguir são válidas para todo
:
(b) A soma dos primeiros números ímpares é igual a
.
(b) A soma dos
Calcule a derivada das seguintes funções: $© (1,0 ponto)
Um pedaço de fio com 10 metros de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total seja: (b) um mínimo? (Aquadrado
, onde
é o lado do quadrado e
, onde
é o lado do triângulo equilátero)