Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
; ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
é a esfera com centro na origem e raio
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é uma esfera de raio
centrada na origem. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que relaciona a integral de superfície do fluxo de
com a integral tripla da divergência de
sobre o volume limitado por
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a divergência do campo vetorial
. A divergência de
, denotada por
, é dada por:
Calculando cada derivada parcial:
Assim, a divergência é:
Passo 3
Sabemos que na esfera de raio
, a equação
é válida. Substituindo isso na expressão da divergência:
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral tripla da divergência sobre o volume da esfera. Em coordenadas esféricas,
e o elemento de volume é
. Portanto, a integral fica:
Simplificando a expressão:
Passo 5
Calculando cada integral separadamente:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Passo 6
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
O fluxo de
através da esfera
é igual a zero.