Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ; ou seja, calcule o fluxo de através de .
é a esfera com centro na origem e raio

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é uma esfera de raio centrada na origem. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que relaciona a integral de superfície do fluxo de com a integral tripla da divergência de sobre o volume limitado por .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a divergência do campo vetorial . A divergência de , denotada por , é dada por:
Calculando cada derivada parcial:
Assim, a divergência é:

Passo 3

Sabemos que na esfera de raio , a equação é válida. Substituindo isso na expressão da divergência:

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral tripla da divergência sobre o volume da esfera. Em coordenadas esféricas, e o elemento de volume é . Portanto, a integral fica:
Simplificando a expressão:

Passo 5

Calculando cada integral separadamente:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :

Passo 6

Multiplicando os resultados das integrais:

Resposta

O fluxo de através da esfera é igual a zero.

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é a superfície do sólido delimitado pelo cilindro e pelos planos e
Prove, usando o Princípio da Indução Finita, que as afirmações a seguir são válidas para todo :
(b) A soma dos primeiros números ímpares é igual a .
Calcule a derivada das seguintes funções: $© (1,0 ponto)
Um pedaço de fio com 10 metros de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total seja: (b) um mínimo? (Aquadrado , onde é o lado do quadrado e â, onde é o lado do triângulo equilátero)