Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S; ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
F(x, y, z)=4 x^3 z i+4 y^3 z j+3 z^4 k, S é a esfera com centro na origem e raio R

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é uma esfera de raio centrada na origem. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergente, que relaciona a integral de superfície do fluxo de com a integral tripla da divergência de sobre o volume limitado por .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a divergência do campo vetorial nabla cdot F = partialpartial x(4x^3 z) + partialpartial y(4y^3 z) + partialpartial z(3z^4) . A divergência de partialpartial x(4x^3 z) = 12x^2 z , denotada por partialpartial y(4y^3 z) = 12y^2 z , é dada por:
partialpartial z(3z^4) = 12z^3
Calculando cada derivada parcial:
nabla cdot F = 12x^2 z + 12y^2 z + 12z^3 = 12z(x^2 + y^2 + z^2)
Assim, a divergência é:

Passo 3

Sabemos que na esfera de raio nabla cdot F = 12z(R^2) = 12R^2 z , a equação é válida. Substituindo isso na expressão da divergência:

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral tripla da divergência sobre o volume da esfera. Em coordenadas esféricas, integral triplaV nabla cdot F , dV = 12R^2 integral triplaV z , dV = 12R^2 integral0^2pi integral0^pi integral0^R r costheta cdot r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi e o elemento de volume é 12R^2 integral0^2pi dphi integral0^pi costheta sintheta , dtheta integral0^R r^3 , dr . Portanto, a integral fica:
Simplificando a expressão:

Passo 5

Calculando cada integral separadamente:
  1. Integral em integral0^R r^3 , dr = [r^44]0^R = R^44 :
integral0^pi costheta sintheta , dtheta = 12 integral0^pi sin(2theta) , dtheta = 12 [-cos(2theta)2]0^pi = 0
  1. Integral em integral0^2pi dphi = 2pi :
  1. Integral em :

Passo 6

Multiplicando os resultados das integrais:
12R^2 cdot 2pi cdot 0 cdot R^44 = 0

Resposta

O fluxo de através da esfera é igual a zero.

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