Um pedaço de gelo sai do repouso e desliza descendo sobre um plano áspero inclinado de
no dobro do tempo que ele gasta para deslizar descendo sobre um plano sem atrito inclinado de
de mesmo comprimento. Encontre o coeficiente de atrito cinético entre o gelo e o plano inclinado áspero.
Passo 1
Vamos lá! Temos um pedaço de gelo que desliza descendo por dois planos inclinados de mesmo ângulo (
) e comprimento. No primeiro plano, que é sem atrito, ele demora um certo tempo para chegar ao final. No segundo plano, que é áspero, ele leva o dobro desse tempo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o coeficiente de atrito cinético entre o gelo e o plano inclinado áspero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando o gelo desliza por um plano inclinado, a força da gravidade está puxando ele para baixo. No caso do plano sem atrito, essa é a única força que atua na direção do movimento. Mas no plano áspero, além da gravidade, há a força de atrito que tenta impedir o movimento.
Passo 3
Vamos chamar de
a aceleração do gelo no plano sem atrito e de
a aceleração no plano áspero. A aceleração no plano sem atrito é dada por:
onde
é a aceleração da gravidade (
) e
é o ângulo do plano inclinado (
).
Passo 4
No plano áspero, a aceleração diminui por causa do atrito. A aceleração no plano áspero é:
Aqui,
é o coeficiente de atrito cinético que queremos encontrar.
Passo 5
Sabemos que o tempo no plano áspero (
) é o dobro do tempo no plano sem atrito (
):
Passo 6
A distância percorrida é a mesma nos dois casos e pode ser calculada pela fórmula:
Para o plano sem atrito:
Para o plano áspero:
Passo 7
Igualando as duas expressões para a distância:
Podemos cancelar
e simplificar:
Substituindo as expressões de
e
:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por
(já que
):
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
Passo 9
Distribuindo o 4:
Subtraindo
de ambos os lados:
Simplificando:
Resposta
Substituindo
:
Portanto, o coeficiente de atrito cinético entre o gelo e o plano inclinado áspero é aproximadamente 0,488.