Um pedaço de gelo sai do repouso e desliza descendo sobre um plano áspero inclinado de no dobro do tempo que ele gasta para deslizar descendo sobre um plano sem atrito inclinado de de mesmo comprimento. Encontre o coeficiente de atrito cinético entre o gelo e o plano inclinado áspero.

Passo 1

Vamos lá! Temos um pedaço de gelo que desliza descendo por dois planos inclinados de mesmo ângulo ( ) e comprimento. No primeiro plano, que é sem atrito, ele demora um certo tempo para chegar ao final. No segundo plano, que é áspero, ele leva o dobro desse tempo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o coeficiente de atrito cinético entre o gelo e o plano inclinado áspero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando o gelo desliza por um plano inclinado, a força da gravidade está puxando ele para baixo. No caso do plano sem atrito, essa é a única força que atua na direção do movimento. Mas no plano áspero, além da gravidade, há a força de atrito que tenta impedir o movimento.

Passo 3

Vamos chamar de a aceleração do gelo no plano sem atrito e de a aceleração no plano áspero. A aceleração no plano sem atrito é dada por:
onde é a aceleração da gravidade ( ²) e é o ângulo do plano inclinado ( ).

Passo 4

No plano áspero, a aceleração diminui por causa do atrito. A aceleração no plano áspero é:
Aqui, é o coeficiente de atrito cinético que queremos encontrar.

Passo 5

Sabemos que o tempo no plano áspero ( ) é o dobro do tempo no plano sem atrito ( ):

Passo 6

A distância percorrida é a mesma nos dois casos e pode ser calculada pela fórmula:
²
Para o plano sem atrito:
²
Para o plano áspero:
²²²

Passo 7

Igualando as duas expressões para a distância:
²²
Podemos cancelar ² e simplificar:
Substituindo as expressões de e :

Passo 8

Dividindo ambos os lados por (já que ):
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:

Passo 9

Distribuindo o 4:
Subtraindo de ambos os lados:
Simplificando:

Resposta

Substituindo :
Portanto, o coeficiente de atrito cinético entre o gelo e o plano inclinado áspero é aproximadamente 0,488.

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