Um pedaço de gelo sai do repouso e desliza descendo sobre um plano áspero inclinado de 33^circ no dobro do tempo que ele gasta para deslizar descendo sobre um plano sem atrito inclinado de 33^circ de mesmo comprimento. Encontre o coeficiente de atrito cinético entre o gelo e o plano inclinado áspero.

Passo 1

Vamos lá! Temos um pedaço de gelo que desliza descendo por dois planos inclinados de mesmo ângulo ( 33^circ) e comprimento. No primeiro plano, que é sem atrito, ele demora um certo tempo para chegar ao final. No segundo plano, que é áspero, ele leva o dobro desse tempo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o coeficiente de atrito cinético entre o gelo e o plano inclinado áspero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando o gelo desliza por um plano inclinado, a força da gravidade está puxando ele para baixo. No caso do plano sem atrito, essa é a única força que atua na direção do movimento. Mas no plano áspero, além da gravidade, há a força de atrito que tenta impedir o movimento.

Passo 3

Vamos chamar de af a aceleração do gelo no plano sem atrito e de ar a aceleração no plano áspero. A aceleração no plano sem atrito é dada por:
af = g cdot sin(theta)
onde g é a aceleração da gravidade ( approx 9,8 , m/s²²) e theta é o ângulo do plano inclinado ( 33^circ).

Passo 4

No plano áspero, a aceleração diminui por causa do atrito. A aceleração no plano áspero é:
ar = g cdot (sin(theta) - mu cdot cos(theta))
Aqui, mu é o coeficiente de atrito cinético que queremos encontrar.

Passo 5

Sabemos que o tempo no plano áspero ( tr) é o dobro do tempo no plano sem atrito ( tf):
tr = 2 cdot tf

Passo 6

A distância percorrida é a mesma nos dois casos e pode ser calculada pela fórmula:
s = 12 cdot a cdot t² ²
Para o plano sem atrito:
s = 12 cdot af cdot tf² ²
Para o plano áspero:
s = 12 cdot ar cdot tr² = 12 cdot ar cdot (2 cdot tf)² = 2 cdot ar cdot tf² ²²²

Passo 7

Igualando as duas expressões para a distância:
12 cdot af cdot tf² = 2 cdot ar cdot tf² ²²
Podemos cancelar tf²² e simplificar:
12 cdot af = 2 cdot ar
Substituindo as expressões de af e ar:
12 cdot g cdot sin(theta) = 2 cdot g cdot (sin(theta) - mu cdot cos(theta))

Passo 8

Dividindo ambos os lados por g (já que g neq 0):
12 cdot sin(theta) = 2 cdot (sin(theta) - mu cdot cos(theta))
Multiplicando tudo por 2 para eliminar a fração:
sin(theta) = 4 cdot (sin(theta) - mu cdot cos(theta))

Passo 9

Distribuindo o 4:
sin(theta) = 4 cdot sin(theta) - 4 cdot mu cdot cos(theta)
Subtraindo 4 cdot sin(theta) de ambos os lados:
-3 cdot sin(theta) = -4 cdot mu cdot cos(theta)
Simplificando:
mu = 3 cdot sin(theta)4 cdot cos(theta) = 34 cdot tan(theta)

Resposta

Substituindo theta = 33^circ:
mu = 34 cdot tan(33^circ) approx 34 cdot 0,6494 approx 0,4878
Portanto, o coeficiente de atrito cinético entre o gelo e o plano inclinado áspero é aproximadamente 0,488.

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