Pede-se: Determine as coordenadas
do centro do círculo no plano
que mapeia o aerofólio no plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir as coordenadas
do centro de um círculo no plano
que mapeia um aerofólio no plano
. Isso envolve conceitos de mapeamento conforme, que é uma parte da geometria complexa. Basicamente, vamos usar uma transformação que relaciona pontos de um plano para outro, transformando o círculo no plano
no formato do aerofólio no plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a transformação de Joukowski, que é comumente usada para esse tipo de mapeamento.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a transformação de Joukowski, que é dada por:
Aqui,
é o ponto no plano do aerofólio,
é o ponto no plano do círculo, e
é um parâmetro que determina o tamanho do círculo. Essa transformação pega cada ponto
no círculo e o mapeia para um ponto
no aerofólio.
Passo 3
Para que um círculo mapeie exatamente um aerofólio, o círculo no plano
geralmente precisa passar por pontos específicos. Supondo que o círculo passe pela origem
, isso implica que o aerofólio terá uma “ponta” no ponto correspondente no plano
.
Agora, queremos encontrar o centro desse círculo no plano
. Vamos chamar as coordenadas desse centro de
. Então, nosso objetivo é determinar
e
.
Passo 4
Vamos assumir que o círculo está centrado no ponto
ao longo do eixo real e
ao longo do eixo imaginário no plano
. Assim, o número complexo que representa o centro do círculo é:
Passo 5
Para encontrar
e
, precisamos considerar que o círculo mapeia de forma que a transformação de Joukowski produza o aerofólio desejado. Normalmente, escolhemos
para que o centro do círculo esteja sobre o eixo real, simplificando a simetria do aerofólio.
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos determinar
. Sabemos que a transformação precisa que o círculo passe por certos pontos específicos para formar a ponta do aerofólio. Geralmente, isso significa que
deve estar no círculo.
Substituindo
na equação do círculo:
Onde
é o raio do círculo. Então:
Como
:
Passo 7
Portanto, o centro do círculo no plano
tem coordenadas:
Onde
é o raio do círculo utilizado na transformação de Joukowski.
Resposta
As coordenadas do centro do círculo no plano
são
, onde
é o raio do círculo.
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