Pede-se: Determine as coordenadas do centro do círculo no plano que mapeia o aerofólio no plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para descobrir as coordenadas do centro de um círculo no plano que mapeia um aerofólio no plano . Isso envolve conceitos de mapeamento conforme, que é uma parte da geometria complexa. Basicamente, vamos usar uma transformação que relaciona pontos de um plano para outro, transformando o círculo no plano no formato do aerofólio no plano . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a transformação de Joukowski, que é comumente usada para esse tipo de mapeamento.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a transformação de Joukowski, que é dada por:
Aqui, é o ponto no plano do aerofólio, é o ponto no plano do círculo, e é um parâmetro que determina o tamanho do círculo. Essa transformação pega cada ponto no círculo e o mapeia para um ponto no aerofólio.

Passo 3

Para que um círculo mapeie exatamente um aerofólio, o círculo no plano geralmente precisa passar por pontos específicos. Supondo que o círculo passe pela origem , isso implica que o aerofólio terá uma “ponta” no ponto correspondente no plano .
Agora, queremos encontrar o centro desse círculo no plano . Vamos chamar as coordenadas desse centro de . Então, nosso objetivo é determinar e .

Passo 4

Vamos assumir que o círculo está centrado no ponto ao longo do eixo real e ao longo do eixo imaginário no plano . Assim, o número complexo que representa o centro do círculo é:

Passo 5

Para encontrar e , precisamos considerar que o círculo mapeia de forma que a transformação de Joukowski produza o aerofólio desejado. Normalmente, escolhemos para que o centro do círculo esteja sobre o eixo real, simplificando a simetria do aerofólio.
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos determinar . Sabemos que a transformação precisa que o círculo passe por certos pontos específicos para formar a ponta do aerofólio. Geralmente, isso significa que deve estar no círculo.
Substituindo na equação do círculo:
Onde é o raio do círculo. Então:
Como :

Passo 7

Portanto, o centro do círculo no plano tem coordenadas:
Onde é o raio do círculo utilizado na transformação de Joukowski.

Resposta

As coordenadas do centro do círculo no plano são , onde é o raio do círculo.

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á
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