Utilizando o resultado do exercício anterior, resolva as seguintes equações diferenciais nãohomogêneas
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Agrupando termos:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Finalmente, somamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.