Utilizando o resultado do exercício anterior, resolva as seguintes equações diferenciais nãohomogêneas
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial não homogênea . Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Precisamos encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Agrupando termos:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 4

Finalmente, somamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

(b) Uma equação cujo gráfico seja todos os pontos de .
Pede-se, para a EDO de Bernoulli,
e) Resolva a .
Utilize o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular das equações diferenciais
b) .
Utilizando os axiomas de ordem, mostre que
b)