Uma pedra é lançada para o alto de um rochedo de altura h com uma velocidade inicial v0 e um ângulo theta com a horizontal. Determine a altura máxima H alcançada acima do solo.
32(10^a Ed). Uma pessoa lança uma bola em direção a uma parede com uma velocidade de módulo v0 e um ângulo theta0 acima da horizontal (figura abaixo). A parede está a uma distância d do ponto de lançamento da bola. (a) A que distância acima do ponto de lançamento a bola atinge a parede? Quais são as componentes (b) horizontal e © vertical da velocidade da bola ao atingir a parede? (d) Ao atingir a parede, a bola já passou pelo ponto mais alto da trajetória?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma situação de movimento de projéteis, que é um tópico da cinemática na física. Basicamente, alguém lança uma bola em direção a uma parede com uma velocidade inicial e um ângulo acima da horizontal. A parede está a uma distância do ponto de lançamento. Precisamos responder a quatro perguntas:
a) A que altura a bola atinge a parede?
b) Quais são as componentes horizontal da velocidade da bola ao atingir a parede?
c) Quais são as componentes vertical da velocidade da bola ao atingir a parede?
d) Ao atingir a parede, a bola já passou pelo ponto mais alto da trajetória?
Para resolver isso, vamos precisar das equações do movimento uniformemente variado, especificamente para projeções horizontais e verticais, e entender como decompor a velocidade inicial nas suas componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial v0x = v0 cdot cos(theta0) nas suas componentes horizontal e vertical. Isso é importante porque o movimento horizontal e o vertical são independentes um do outro.
A componente horizontal da velocidade é dada por:
v0y = v0 cdot sin(theta0)
E a componente vertical da velocidade é:
Essas componentes nos ajudarão a calcular quanto tempo a bola leva para chegar à parede e sua posição vertical nesse tempo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o tempo que a bola leva para atingir a parede. Como o movimento horizontal é uniforme (sem aceleração horizontal), podemos usar a seguinte relação:
d = v0x cdot t
Isolando t = dv0x = dv0 cdot cos(theta0) :
Esse é o tempo que a bola leva para percorrer a distância horizontal até a parede.

Passo 4

Com o tempo y = v0y cdot t - 12 g t^2 calculado, podemos encontrar a altura y = v0 cdot sin(theta0) cdot dv0 cdot cos(theta0) - 12 g ( dv0 cdot cos(theta0) )^2 da bola quando ela atinge a parede usando a equação do movimento vertical:
y = d cdot tan(theta0) - g d^22 v0^2 cdot cos^2(theta0)
Substituindo e :
Simplificando:
Essa é a altura acima do ponto de lançamento onde a bola atinge a parede.

Passo 5

Agora, para encontrar as componentes da velocidade ao atingir a parede, vamos lembrar que a componente horizontal da velocidade permanece constante durante o voo, já que não há aceleração horizontal. Portanto:
a) Componente horizontal da velocidade ( vx = v0 cdot cos(theta0) ):
vy = v0y - g t = v0 cdot sin(theta0) - g cdot dv0 cdot cos(theta0)
b) Componente vertical da velocidade ( vy = v0 cdot sin(theta0) - g dv0 cdot cos(theta0) ):
A componente vertical da velocidade no instante em que a bola atinge a parede é dada por:

Passo 6

Para a última pergunta, precisamos verificar se a bola já passou pelo ponto mais alto da trajetória ao atingir a parede. O ponto mais alto ocorre quando a componente vertical da velocidade é zero ( vy = v0 cdot sin(theta0) - g tmáx = 0 ).
Vamos encontrar o tempo tmáx = v0 cdot sin(theta0)g á para atingir o ponto mais alto:
dv0 cdot cos(theta0) > v0 cdot sin(theta0)g á
Rightarrow d > v0^2 cdot sin(theta0) cdot cos(theta0)g á
Se o tempo que a bola leva para atingir a parede ( Rightarrow d > v0^2 cdot sin(2theta0)2g ) for maior que á, então a bola já passou pelo ponto mais alto ao atingir a parede.
Ou seja, verificamos se:
Se essa condição for verdadeira, então sim, a bola já passou pelo ponto mais alto da trajetória ao atingir a parede.

Resposta

a) A altura acima do ponto de lançamento onde a bola atinge a parede é:
y = d cdot tan(theta0) - g d^22 v0^2 cdot cos^2(theta0)
b) A componente horizontal da velocidade ao atingir a parede é:
vx = v0 cdot cos(theta0)
c) A componente vertical da velocidade ao atingir a parede é:
vy = v0 cdot sin(theta0) - g dv0 cdot cos(theta0)
d) A bola já passou pelo ponto mais alto da trajetória ao atingir a parede se:
d > v0^2 cdot sin(2theta0)2g

Exercícios relacionados