Uma pessoa sobe caminhando em 90 s uma escada-rolante enguiçada que possui 15 m de comprimento. Quando parada em relação à mesma escada-rolante, agora em movimento, a pessoa é transportada para cima em 60 s. Quanto tempo essa pessoa levaria para subir caminhando na escada-rolante em movimento? A resposta depende comprimento da escada-rolante?
21(10^a Ed). Um dardo é arremessado horizontalmente com uma velocidade inicial de v0 em direção a um ponto P , o centro de um alvo de parede. O dardo atinge um ponto Q do alvo, verticalmente abaixo de P , em um tempo t depois do arremesso. (a) Qual é a distância PQ? (b) A que distância do alvo foi arremessado o dardo?

Passo 1

Vamos entender o primeiro problema. Uma pessoa sobe caminhando uma escada-rolante que não está funcionando. Ela leva 90 segundos para percorrer os 15 metros da escada. Quando a escada-rolante está em movimento e a pessoa não está andando, ela é transportada para cima em 60 segundos. Queremos descobrir quanto tempo essa pessoa levaria para subir caminhando na escada-rolante em movimento. Além disso, vamos verificar se a resposta depende do comprimento da escada-rolante.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a velocidade da pessoa quando está caminhando na escada-rolante parada. Usamos a fórmula da velocidade:
vpessoa = distânciatempo = 15, m90, s = 0,1667, m/s â

Passo 3

Agora, vamos descobrir a velocidade da escada-rolante quando está em movimento sem a pessoa andar. Usamos novamente a fórmula da velocidade:
vescada = distânciatempo = 15, m60, s = 0,25, m/s â

Passo 4

Quando a pessoa caminha na escada-rolante que está se movendo, as velocidades da pessoa e da escada-rolante se somam, já que ambas estão na mesma direção. Então, a velocidade total é:
vtotal = vpessoa + vescada = 0,1667, m/s + 0,25, m/s = 0,4167, m/s

Passo 5

Agora, para encontrar o tempo que a pessoa leva para percorrer os 15 metros caminhando na escada-rolante em movimento, usamos novamente a fórmula da velocidade, rearranjada para encontrar o tempo:
t = distânciavelocidade = 15, m0,4167, m/s approx 36, segundos â

Passo 6

Sobre a segunda parte da pergunta: “A resposta depende do comprimento da escada-rolante?” Observando os cálculos, vemos que o tempo depende diretamente da distância (comprimento da escada) e inversamente das velocidades envolvidas. Portanto, se o comprimento da escada-rolante mudar, o tempo necessário também mudará proporcionalmente.

Passo 7

Agora, vamos analisar o segundo problema sobre o dardo. Um dardo é lançado horizontalmente com uma velocidade inicial em direção a um ponto P, que é o centro de um alvo na parede. O dardo atinge um ponto Q do alvo, que está diretamente abaixo de P, após um tempo . Precisamos responder:
(a) Qual é a distância PQ?
(b) A que distância do alvo o dardo foi lançado?

Passo 8

Para resolver esse problema, vamos considerar o movimento do dardo em duas direções: horizontal e vertical.

Passo 9

Primeiro, analisamos o movimento horizontal. Como não há aceleração horizontal (a não ser a resistência do ar, que podemos desprezar), a velocidade horizontal x = v0 times t permanece constante. A distância horizontal percorrida pelo dardo é:

Passo 10

Agora, analisamos o movimento vertical. Inicialmente, o dardo é lançado horizontalmente, então a velocidade vertical inicial é zero ( y = 12 g t^2 ). A única aceleração vertical é a da gravidade ( ). A distância vertical que o dardo cai é dada por:
No caso, como o dardo atinge o ponto Q diretamente abaixo de P, a distância PQ é exatamente essa queda vertical .

Passo 11

Agora, respondendo às perguntas:
(a) Qual é a distância PQ?
Usamos a fórmula do movimento vertical:
PQ = 12 g t^2
Substituindo PQ = 12 times 9,8, m/s^2 times t^2 = 4,9, t^2, m :
Distância = v0 times t
(b) A que distância do alvo foi lançado o dardo?
Usamos a fórmula do movimento horizontal:
â

Resposta

(a) A distância PQ é metros.
(b) O dardo foi lançado a uma distância de metros do alvo.

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