Uma pedra de massa , amarrada a uma linha de comprimento com uma extremidade fixa, gira em um círculo no plano vertical. Qual é a velocidade mínima da pedra ao passar pelo ponto mais alto para que esse movimento seja possível?
Resposta :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma pedra de massa amarrada a uma linha de comprimento que gira em um círculo no plano vertical. O conteúdo que vamos usar aqui é dinâmica circular, especificamente as forças envolvidas no movimento circular. Para resolver isso, precisamos entender as forças que atuam na pedra no ponto mais alto da trajetória.

Passo 2

No ponto mais alto, duas forças estão agindo na pedra: a força gravitacional ( ) puxando a pedra para baixo e a tensão na linha ( ) também atuando para baixo, já que a linha está esticada nessa posição.

Passo 3

Para que a pedra continue girando em um círculo, a força resultante na direção do centro do círculo deve ser igual à força centrípeta necessária para manter o movimento circular. A força centrípeta ( ) é dada por:
onde é a velocidade da pedra.

Passo 4

No ponto mais alto, a soma das forças que puxam a pedra para baixo ( ) deve fornecer a força centrípeta necessária. Então, temos:
Para encontrar a velocidade mínima, consideramos que a tensão na linha é igual a zero (ou seja, a linha está apenas segurando a pedra sem puxá-la). Assim, a equação fica:

Passo 5

Agora, podemos simplificar a equação. Cancelando a massa dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por :
E, finalmente, tirando a raiz quadrada para encontrar :

Resposta

A velocidade mínima da pedra ao passar pelo ponto mais alto é:

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Resposta: .
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Resposta :