Uma pedra, partindo do repouso, cai verticalmente do alto de um prédio cuja altura é “h”. Se ela gasta 1s para percorrer a última metade do percurso, qual é o valor em metros (m) que melhor representa a altura “h” do prédio? Desconsidere o atrito com o ar, e considere o módulo da aceleração da gravidade igual a 9,8 m/s².

Passo 1

Vamos resolver um problema de cinemática, que faz parte da Física. A questão envolve calcular a altura de um prédio a partir do tempo que uma pedra leva para percorrer a última metade da queda. Para resolver isso, vamos precisar utilizar as equações do movimento uniformemente acelerado, especificamente aquelas que descrevem a queda livre sob a influência da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que sabemos:
  • A pedra parte do repouso, ou seja, sua velocidade inicial é zero.
  • A aceleração da gravidade ($ g $) é $ 9,8 , m/s² $.
  • A pedra leva 1 segundo para percorrer a última metade da trajetória.
Queremos encontrar a altura total ($ h $) do prédio.

Passo 3

Vamos usar a fórmula da queda livre, que relaciona a distância percorrida ($ s s t $):
t
Como a pedra percorre a última metade da altura em 1 segundo, podemos dizer que:
s = 12 g t^2
Aqui, $ t_{total} $ é o tempo total para a pedra percorrer toda a altura $ h $.

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
h2 = 12 g ( ttotal^2 - (ttotal - 1)^2 )
Expandindo $ (t_{total} - 1)^2 $:
(ttotal - 1)^2
Substituindo na equação:
(ttotal - 1)^2 = ttotal^2 - 2 ttotal + 1

Passo 5

Sabemos também que a altura total $ h $ é dada por:
h
Substituindo na equação anterior:
h = 12 g ttotal^2
Simplificando:
12 g ttotal^2 cdot 12 = 12 g (2 ttotal - 1)
Cancelando $ \frac{1}{2} g $ de ambos os lados:
14 g ttotal^2 = 12 g (2 ttotal - 1)

Passo 6

Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
ttotal^2 = 4 ttotal - 2
Rearranjando os termos:
ttotal^2 - 4 ttotal + 2 = 0
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
ttotal = 4 pm raiz16 - 82 = 4 pm raiz82 = 4 pm 2raiz22 = 2 pm raiz2
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
ttotal = 2 + raiz2 approx 3,414 , segundos

Passo 7

Agora, vamos encontrar a altura $ h $ usando o tempo total:
h

Resposta

A altura do prédio é aproximadamente 57 metros.

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