Uma pedra de peso w é atirada verticalmente para cima com velocidade inicial v0. Suponha que uma força f constante, atue sobre a pedra durante seu percurso. Mostre que a altura máxima atingida pela pedra é:
h=v0^22 g(1+fw)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma pedra que é lançada para cima com uma velocidade inicial . Além da gravidade, que sempre está puxando a pedra para baixo com um peso , tem uma força constante agindo na pedra durante todo o trajeto. Nosso objetivo é descobrir qual a altura máxima que a pedra vai alcançar. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática e leis de Newton, além de trabalhar com fórmulas que relacionam velocidade, aceleração e deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que estão atuando na pedra. Temos duas forças principais:
  1. O peso da pedra, que é Ftotal = f - w (onde é a massa e é a aceleração da gravidade).
  2. A força constante que está agindo na pedra. Dependendo da direção dessa força, ela pode ajudar ou dificultar o movimento da pedra.
Como a pedra está sendo lançada para cima, consideramos que a força também está na direção para cima. Então, a força total que está agindo na pedra é a força menos o peso :

Passo 3

Agora, vamos relacionar essa força total com a aceleração da pedra usando a segunda lei de Newton, que diz que f - w = ma , onde a = f - wm é a aceleração. Assim, temos:
Isolando a aceleração :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que a = f - mgm = fm - g , então podemos substituir:
Isso mostra que a aceleração da pedra é a diferença entre a aceleração causada pela força e a aceleração da gravidade .

Passo 5

Para encontrar a altura máxima v^2 = v0^2 + 2a s , podemos usar a equação da cinemática que relaciona a velocidade inicial, a aceleração e o deslocamento:
0 = v0^2 + 2a h
No ponto mais alto, a velocidade final h = -v0^22a é zero. Então, temos:
Isolando :

Passo 6

Vamos substituir a aceleração h = -v0^22(fm - g) que encontramos:
h = -v0^2 m2(f - mg)
Multiplicando numerador e denominador por h = v0^22g(1 + fw) , ficamos com:
Como queremos uma expressão positiva para a altura, podemos rearranjar os termos:
Aqui, substituímos na expressão.

Resposta

A altura máxima atingida pela pedra é:
h = v0^22 g(1+fw)

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