Uma pedra é solta, a uma velocidade inicial nula, de uma altura . Um tempo depois, outra pedra é atirada para baixo à velocidade inicial , do mesmo ponto da primeira pedra. qual deve ser o valor mínimo de para que as duas pedras colidam no ar?
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de movimento sob a ação da gravidade. O enunciado diz que uma pedra é solta (sem velocidade inicial) de uma altura . Depois de um tempo , outra pedra é lançada para baixo com uma velocidade inicial do mesmo ponto. A gente precisa descobrir qual é a velocidade mínima para que as duas pedras se encontrem no ar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como cada pedra se movimenta. A primeira pedra é solta do repouso, então sua velocidade inicial é zero. A segunda pedra é lançada com uma velocidade inicial depois de um tempo .

Passo 3

Vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado, onde a única aceleração é a da gravidade (que vai acelerar as pedras para baixo). A posição de cada pedra em função do tempo pode ser descrita pela fórmula:
Aqui, é a posição, é a posição inicial, é a velocidade inicial, é a aceleração e é o tempo.

Passo 4

Para a primeira pedra, que é solta, temos:
  • Posição inicial
  • Velocidade inicial
  • Aceleração
Então, a posição da primeira pedra em função do tempo é:
(Negativo porque está descendo)

Passo 5

Para a segunda pedra, que é lançada depois de um tempo , temos:
  • Posição inicial
  • Velocidade inicial
  • Aceleração
Mas como ela é lançada depois de segundos, seu tempo de voo será .
Então, a posição da segunda pedra em função do tempo é:

Passo 6

Para que as duas pedras se encontrem, as suas posições devem ser iguais no mesmo instante . Então, igualamos :

Passo 7

Cancelamos dos dois lados da equação:
Multiplicando tudo por -1 para simplificar:

Passo 8

Agora, vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 9

Simplificando a expressão:

Passo 10

Agora, percebemos que para as pedras se encontrarem no ar antes da primeira chegar ao chão, o tempo de colisão deve ser menor ou igual ao tempo de queda da primeira pedra, que é:
Substituindo esse valor na expressão de :
Simplificando:

Resposta

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