Uma pedra é solta, a uma velocidade inicial nula, de uma altura h. Um tempo T depois, outra pedra é atirada para baixo à velocidade inicial v0, do mesmo ponto da primeira pedra. qual deve ser o valor mínimo de v0 para que as duas pedras colidam no ar?
Resposta:
vmin =2 h-g(raiz2 h / g-T)^22(raiz2 h / g-T)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de movimento sob a ação da gravidade. O enunciado diz que uma pedra é solta (sem velocidade inicial) de uma altura . Depois de um tempo , outra pedra é lançada para baixo com uma velocidade inicial do mesmo ponto. A gente precisa descobrir qual é a velocidade mínima para que as duas pedras se encontrem no ar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como cada pedra se movimenta. A primeira pedra é solta do repouso, então sua velocidade inicial é zero. A segunda pedra é lançada com uma velocidade inicial depois de um tempo .

Passo 3

Vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado, onde a única aceleração é a da gravidade s = s0 + v0 t + 12 a t^2 (que vai acelerar as pedras para baixo). A posição de cada pedra em função do tempo pode ser descrita pela fórmula:
Aqui, é a posição, é a posição inicial, é a velocidade inicial, é a aceleração e é o tempo.

Passo 4

Para a primeira pedra, que é solta, temos:
  • Posição inicial s1(t) = h - 12 g t^2
  • Velocidade inicial
  • Aceleração
Então, a posição da primeira pedra em função do tempo é:
(Negativo porque está descendo)

Passo 5

Para a segunda pedra, que é lançada depois de um tempo s2(t) = h - v0 (t - T) - 12 g (t - T)^2 , temos:
  • Posição inicial
  • Velocidade inicial
  • Aceleração
Mas como ela é lançada depois de segundos, seu tempo de voo será .
Então, a posição da segunda pedra em função do tempo é:

Passo 6

Para que as duas pedras se encontrem, as suas posições devem ser iguais no mesmo instante h - 12 g t^2 = h - v0 (t - T) - 12 g (t - T)^2 . Então, igualamos :

Passo 7

Cancelamos - 12 g t^2 = - v0 (t - T) - 12 g (t - T)^2 dos dois lados da equação:
12 g t^2 = v0 (t - T) + 12 g (t - T)^2
Multiplicando tudo por -1 para simplificar:

Passo 8

Agora, vamos isolar v0 (t - T) = 12 g t^2 - 12 g (t - T)^2 :
v0 = 12 g t^2 - 12 g (t - T)^2t - T
Dividindo ambos os lados por :

Passo 9

Simplificando a expressão:
v0 = g t^2 - g (t - T)^22 (t - T)
v0 = g [t^2 - (t^2 - 2 T t + T^2)]2 (t - T)
v0 = g (2 T t - T^2)2 (t - T)

Passo 10

Agora, percebemos que para as pedras se encontrarem no ar antes da primeira chegar ao chão, o tempo t = raiz2 hg de colisão deve ser menor ou igual ao tempo de queda da primeira pedra, que é:
v0 = g [2 T raiz2 h / g - T^2]2 (raiz2 h / g - T)
Substituindo esse valor na expressão de v0 = 2 h - g (raiz2 h / g - T)^22 (raiz2 h / g - T) :
Simplificando:

Resposta

vmin =2 h - g (raizdfrac2 hg - T)^22 (raizdfrac2 hg - T)

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