Um pêndulo é afastado da vertical de um ângulo de e solto em repouso. Para que ângulo com a vertical sua velocidade será a metade da velocidade máxima atingida pelo pêndulo?
Ao atingir o ponto a velocidade passa pelo seu valor mínimo, que, pelas (7.6.16) e (7.6.18), é dada por
(Note que , conforme foi observado por Galileu, para que o fio se enrosque (pg. 106), de modo que o membro da (7.6.19) é ).
A lei de Newton, aplicada ao ponto , onde a aceleração é puramente centrípeta (não há forças tangenciais), dá
onde é a tensão no fio, dirigida para baixo. Combinando as (7.6.19) e (7.6.20), obtemos:
Como o fio não pode exercer uma tensão negativa (ou seja, dirigida para cima), devemos ter , o que dá, pela (7.6.21),
Para , o fio não chega até o ponto : a tensão se anula para e fio se dobra, fazendo cair o pêndulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala de um pêndulo que é puxado para um ângulo de e depois solto. A gente precisa descobrir em que ângulo, a partir da vertical, a velocidade do pêndulo vai ser metade da velocidade máxima que ele atinge. Vamos usar conceitos de energia mecânica e movimento circular para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a energia envolvida. Quando o pêndulo está no ponto mais alto ( ), ele tem energia potencial máxima e velocidade zero. Conforme ele desce, essa energia potencial se transforma em energia cinética. A energia mecânica total é conservada, então a soma da energia potencial e cinética permanece constante.

Passo 3

Vamos calcular a altura máxima que o pêndulo atinge quando está a . Se o comprimento do fio do pêndulo é , a altura pode ser calculada usando trigonometria:
Então, a energia potencial inicial é:

Passo 4

A velocidade máxima ocorre quando toda a energia potencial foi convertida em energia cin��tica. Usando a conservação de energia:
Resolvendo para :

Passo 5

Queremos que a velocidade seja metade da velocidade máxima:
A energia cinética nesse ponto é:
A energia potencial nesse ponto é:
Agora, relacionando a energia potencial com a altura no ângulo :
Usando trigonometria novamente:
Simplificando:
Finalmente, calculando :

Resposta

O ângulo com a vertical em que a velocidade do pêndulo é metade da velocidade máxima é aproximadamente .

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A velocidade de uma partícula que se move sobre um plano é dada por , com em metros por segundo e ) em segundos.
f) Se a partícula partiu da origem das posições, determine sua função posição.
No sistema da figura, onde as polias e os fios têm massa desprezível, e . (a) O sistema é solto com velocidade inicial nula quando as distâncias ao teto são e . Usando conservação da energia, calcule as velocidades de e depois que desceu uma distância . (b) Calcule a partir daí as acelerações e das duas massas. © Verifique os resultados usando as leis de Newton.
pulo de uma perereca tem um alcance vertical de . Considerando que o ângulo de salto seja de em relação ao chão, qual é a intensidade, em de sua velocidade inicial?
Um projétil é lançado a uma velocidade inicial de , fazendo um ângulo de com a horizontal. Considerando a aceleração da gravidade , o tempo para que o projétil atinja o ponto mais alto da trajetória em segundos vale:
a) 3,5 .
b) 8,0 .
c) 4,0 .
d) 2,5 .
e) 5,0.