Um pêndulo é afastado da vertical de um ângulo de
e solto em repouso. Para que ângulo com a vertical sua velocidade será a metade da velocidade máxima atingida pelo pêndulo?
Ao atingir o ponto
a velocidade
passa pelo seu valor mínimo, que, pelas (7.6.16) e (7.6.18), é dada por
(Note que
, conforme foi observado por Galileu, para que o fio se enrosque (pg. 106), de modo que o
membro da (7.6.19) é
).
A
lei de Newton, aplicada ao ponto
, onde a aceleração é puramente centrípeta (não há forças tangenciais), dá
onde
é a tensão no fio, dirigida para baixo. Combinando as (7.6.19) e (7.6.20), obtemos:
Como o fio não pode exercer uma tensão negativa (ou seja, dirigida para cima), devemos ter
, o que dá, pela (7.6.21),
Para
, o fio não chega até o ponto
: a tensão se anula para
e fio se dobra, fazendo cair o pêndulo.
Ao atingir o ponto
A
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala de um pêndulo que é puxado para um ângulo de
e depois solto. A gente precisa descobrir em que ângulo, a partir da vertical, a velocidade do pêndulo vai ser metade da velocidade máxima que ele atinge. Vamos usar conceitos de energia mecânica e movimento circular para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a energia envolvida. Quando o pêndulo está no ponto mais alto (
), ele tem energia potencial máxima e velocidade zero. Conforme ele desce, essa energia potencial se transforma em energia cinética. A energia mecânica total é conservada, então a soma da energia potencial e cinética permanece constante.
Passo 3
Vamos calcular a altura máxima que o pêndulo atinge quando está a
. Se o comprimento do fio do pêndulo é
, a altura
pode ser calculada usando trigonometria:
Então, a energia potencial inicial é:
Passo 4
A velocidade máxima
ocorre quando toda a energia potencial foi convertida em energia cin��tica. Usando a conservação de energia:
Resolvendo para
:
Passo 5
Queremos que a velocidade
seja metade da velocidade máxima:
A energia cinética nesse ponto é:
A energia potencial nesse ponto é:
Agora, relacionando a energia potencial com a altura
no ângulo
:
Usando trigonometria novamente:
Simplificando:
Finalmente, calculando
:
Resposta
O ângulo com a vertical em que a velocidade do pêndulo é metade da velocidade máxima é aproximadamente
.