Um pêndulo é afastado da vertical de um ângulo de 60^circ e solto em repouso. Para que ângulo com a vertical sua velocidade será a metade da velocidade máxima atingida pelo pêndulo?
Ao atingir o ponto B^prime(theta=pi) a velocidade v(theta) passa pelo seu valor mínimo, que, pelas (7.6.16) e (7.6.18), é dada por
12 m v^2(pi)+2 m g d=m g z0 (v^2(pi)=2 g(z0-2 d)
(Note que d <= z0 / 2, conforme foi observado por Galileu, para que o fio se enrosque (pg. 106), de modo que o 2^circ membro da (7.6.19) é >= 0).
A 2^a lei de Newton, aplicada ao ponto B^prime, onde a aceleração é puramente centrípeta (não há forças tangenciais), dá
m v^2(pi)d=m g+T
onde T é a tensão no fio, dirigida para baixo. Combinando as (7.6.19) e (7.6.20), obtemos:
T=2 m gd(z0-2 d)-m g=2 m gd(z0-52 d)
Como o fio não pode exercer uma tensão negativa (ou seja, dirigida para cima), devemos ter T >= 0, o que dá, pela (7.6.21),
z0-52 d >= 00 <= d <= 25 z0
Para 2 / 5 z0, o fio não chega até o ponto B^prime: a tensão se anula para theta e fio se dobra, fazendo cair o pêndulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala de um pêndulo que é puxado para um ângulo de e depois solto. A gente precisa descobrir em que ângulo, a partir da vertical, a velocidade do pêndulo vai ser metade da velocidade máxima que ele atinge. Vamos usar conceitos de energia mecânica e movimento circular para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a energia envolvida. Quando o pêndulo está no ponto mais alto ( ), ele tem energia potencial máxima e velocidade zero. Conforme ele desce, essa energia potencial se transforma em energia cinética. A energia mecânica total é conservada, então a soma da energia potencial e cinética permanece constante.

Passo 3

Vamos calcular a altura máxima que o pêndulo atinge quando está a h = L - Lcos(60^circ) = L(1 - 12) = L2 . Se o comprimento do fio do pêndulo é Ep = mgh = mg(L2) , a altura pode ser calculada usando trigonometria:
Então, a energia potencial inicial é:

Passo 4

A velocidade máxima Ep = Ek Rightarrow mg(L2) = 12mvmax^2 ocorre quando toda a energia potencial foi convertida em energia cin��tica. Usando a conservação de energia:
vmax = raizgL
Resolvendo para :

Passo 5

Queremos que a velocidade v(theta) = vmax2 = raizgL2 seja metade da velocidade máxima:
Ek = 12mv(theta)^2 = 12m(raizgL2)^2 = mgL8
A energia cinética nesse ponto é:
Ep = Etotal - Ek = mg(L2) - mgL8 = 3mgL8
A energia potencial nesse ponto é:
mg h' = 3mgL8 Rightarrow h' = 3L8
Agora, relacionando a energia potencial com a altura h' = L - Lcos(theta) Rightarrow 3L8 = L(1 - cos(theta)) no ângulo 1 - cos(theta) = 38 Rightarrow cos(theta) = 58 :
theta = arccos(58) approx 51.3^circ
Usando trigonometria novamente:
Simplificando:
Finalmente, calculando :

Resposta

O ângulo com a vertical em que a velocidade do pêndulo é metade da velocidade máxima é aproximadamente .

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