Um pêndulo simples é constituído por um fio de comprimento 8 0 c m e uma massa de 0 , 3 0 k g. No instante inicial, o mesmo é deslocado 1 5 de sua posição de equilíbrio e então liberado. Encontre (a) a frequência angular e o período; (b) a função do deslocamento angular; © o valor máximo da velocidade angular ; (d) o valor máximo da tensão no fio.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre um pêndulo simples. No problema, temos um fio de 80 cm de comprimento com uma massa de 0,30 kg presa na ponta. O pêndulo é deslocado 15 graus da posição de equilíbrio e solto. Para resolver este exercício, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples, como frequência angular, período, funções de deslocamento e velocidade, além de calcular a tensão no fio. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Encontrar a frequência angular e o período
Primeiro, vamos encontrar a frequência angular ( omega = raizgL ) e o período ( T = 2piraizLg ) do pêndulo. Para um pêndulo simples, essas grandezas são dadas pelas fórmulas:
L = 80 , cm = 0,80 , m
omega = raiz9,80,80 approx raiz12,25 approx 3,5 , rad/s
Onde:
  • T = 2piraiz0,809,8 approx 2piraiz0,0816 approx 2pi times 0,286 approx 1,80 , s é a aceleração da gravidade ( )
  • é o comprimento do fio
Vamos converter o comprimento do fio de centímetros para metros:
Agora, substituímos os valores na fórmula da frequência angular:
E para o período:

Passo 3

Parte (b): Determinar a função do deslocamento angular
A função do deslocamento angular theta(t) = theta0 cos(omega t) para um movimento harmônico simples é dada por:
theta0 = 15^circ = 15pi180 = pi12 , rad approx 0,262 , rad
Onde:
  • theta(t) = 0,262 cos(3,5 , t) é o ângulo inicial ( )
  • é a frequência angular encontrada anteriormente
Primeiro, vamos converter o ângulo inicial para radianos:
Então, a função do deslocamento angular fica:

Passo 4

Parte ©: Calcular o valor máximo da velocidade angular
A velocidade angular omega(t) = -theta0 omega sin(omega t) é a derivada da função de deslocamento:
omegamáx = theta0 omega
O valor máximo da velocidade angular ocorre quando omegamáx = 0,262 times 3,5 approx 0,917 , rad/s :
á
Substituindo os valores:
á

Passo 5

Parte (d): Determinar o valor máximo da tensão no fio
A tensão no fio T = mg cos(theta) + mL omega^2 varia conforme a posição do pêndulo. A tensão máxima ocorre na posição de equilíbrio, onde toda a força centrípeta está atuando. A fórmula para a tensão é:
Tmáx = mg + mL omega^2
Na posição de equilíbrio ( Tmáx = 0,30 times 9,8 + 0,30 times 0,80 times (3,5)^2 ):
Tmáx = 2,94 + 0,30 times 0,80 times 12,25 á
Substituindo os valores:
Tmáx = 2,94 + 2,94 = 5,88 , N á
á
á

Resposta

(a) Frequência angular: e Período: ;
(b) Função do deslocamento angular: ;
© Velocidade angular máxima: ;
(d) Tensão máxima no fio: .

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