Um pêndulo simples é constituído por um fio de comprimento
e uma massa de
. No instante inicial, o mesmo é deslocado
de sua posição de equilíbrio e então liberado. Encontre (a) a frequência angular e o período; (b) a função do deslocamento angular; © o valor máximo da velocidade angular ; (d) o valor máximo da tensão no fio.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre um pêndulo simples. No problema, temos um fio de 80 cm de comprimento com uma massa de 0,30 kg presa na ponta. O pêndulo é deslocado 15 graus da posição de equilíbrio e solto. Para resolver este exercício, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples, como frequência angular, período, funções de deslocamento e velocidade, além de calcular a tensão no fio. Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Encontrar a frequência angular e o período
Primeiro, vamos encontrar a frequência angular (
) e o período (
) do pêndulo. Para um pêndulo simples, essas grandezas são dadas pelas fórmulas:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade ( ) -
é o comprimento do fio
Vamos converter o comprimento do fio de centímetros para metros:
Agora, substituímos os valores na fórmula da frequência angular:
E para o período:
Passo 3
Parte (b): Determinar a função do deslocamento angular
A função do deslocamento angular
para um movimento harmônico simples é dada por:
Onde:
-
é o ângulo inicial ( ) -
é a frequência angular encontrada anteriormente
Primeiro, vamos converter o ângulo inicial para radianos:
Então, a função do deslocamento angular fica:
Passo 4
Parte ©: Calcular o valor máximo da velocidade angular
A velocidade angular
é a derivada da função de deslocamento:
O valor máximo da velocidade angular ocorre quando
:
Substituindo os valores:
Passo 5
Parte (d): Determinar o valor máximo da tensão no fio
A tensão no fio
varia conforme a posição do pêndulo. A tensão máxima ocorre na posição de equilíbrio, onde toda a força centrípeta está atuando. A fórmula para a tensão é:
Na posição de equilíbrio (
):
Substituindo os valores:
Resposta
(a) Frequência angular:
e Período:
;
(b) Função do deslocamento angular:
;
© Velocidade angular máxima:
;
(d) Tensão máxima no fio:
.