Seja um corpo de 0 , 4 k g ligado a uma mola de constante de força de 1 2 N / m, oscilando com a amplitude de 8 c m. Calcule © o tempo que o corpo leva para ir de x=0 até x=4 c m.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um corpo de 0,4 kg preso a uma mola com uma constante de força de 12 N/m. Esse sistema está oscilando com uma amplitude de 8 cm. Nosso objetivo aqui é calcular o tempo que o corpo leva para ir da posição de equilíbrio (x = 0 cm) até uma posição específica (x = 4 cm). Vamos usar conceitos de Movimento Harmônico Simples (MHS) para resolver isso.

Passo 2

Para começar, precisamos encontrar a frequência angular (ω) do sistema. A frequência angular está relacionada à constante da mola (k) e à massa (m) do corpo pela fórmula:
omega = raizkm
Substituindo os valores:
omega = raiz12, N/m0,4, kg = raiz30 approx 5,477, rad/s

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a posição do corpo em um Movimento Harmônico Simples pode ser descrita pela função:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde:
  • é a amplitude da oscilação (0,08 m),
  • é a frequência angular (5,477 rad/s),
  • é a fase inicial.
Como o problema não especifica a fase inicial, podemos assumir que para simplificar.

Passo 4

Queremos encontrar o tempo 0,04 = 0,08 cos(5,477 t) quando o corpo está na posição cos(5,477 t) = 0,040,08 = 0,5 m. Substituindo os valores na equação da posição:
Dividindo ambos os lados por 0,08:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o tempo cos^-1(0,5) = pi3 que satisfaz essa equação. Sabemos que:
5,477 t = pi3
Portanto:
t = pi3 times 5,477 approx 3,141616,431 approx 0,191, segundos
Isolando :

Resposta

O tempo que o corpo leva para ir de até cm é aproximadamente 0,191 segundos.

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