Quando um pêndulo (simples ou físico ou de torção) ou um bloco preso a uma mola (horizontal ou vertical), etc., oscila com frequência de 262 Hz , ele perde metade de sua energia após 4,00 s. Qual é o tempo de decaimento, tau ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema oscilatório, como um pêndulo ou um bloco na mola, que está oscilando com uma frequência de 262 Hz. Além disso, diz que a energia desse sistema perde metade do seu valor após 4,00 segundos. Nosso objetivo aqui é encontrar o tempo de decaimento, representado por tau.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como a energia em sistemas oscilatórios decai ao longo do tempo, geralmente de forma exponencial. Vamos usar algumas fórmulas básicas de decaimento exponencial para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia em um sistema oscilatório que está sofrendo decaimento pode ser descrita pela fórmula:
E(t) = E0 , e^-t/tau
Aqui:
  • E(t) é a energia no tempo t,
  • E0 é a energia inicial,
  • tau é o tempo de decaimento que queremos encontrar.

Passo 3

Sabemos que após 4,00 segundos, a energia é metade da inicial. Então, podemos escrever:
E(t)E0 = 12 = e^-t/tau
Substituindo t = 4,00,s na equação:
12 = e^-4,00/tau

Passo 4

Para resolver essa equação para tau, vamos usar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
ln(12) = -4,00tau
Sabemos que ln(12) = -ln(2), então:
-ln(2) = -4,00tau

Passo 5

Podemos simplificar os sinais negativos:
ln(2) = 4,00tau
Agora, isolamos tau:
tau = 4,00ln(2)

Passo 6

Calculando o valor numérico:
Sabemos que ln(2) approx 0,693.
Então:
tau = 4,000,693 approx 5,77,s

Resposta

O tempo de decaimento é aproximadamente tau approx 5,77,segundos.

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