Quando um pêndulo (simples ou físico ou de torção) ou um bloco preso a uma mola (horizontal ou vertical), etc., oscila com frequência de 262 Hz , ele perde metade de sua energia após 4,00 s. Qual é o tempo de decaimento,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema oscilatório, como um pêndulo ou um bloco na mola, que está oscilando com uma frequência de 262 Hz. Além disso, diz que a energia desse sistema perde metade do seu valor após 4,00 segundos. Nosso objetivo aqui é encontrar o tempo de decaimento, representado por
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como a energia em sistemas oscilatórios decai ao longo do tempo, geralmente de forma exponencial. Vamos usar algumas fórmulas básicas de decaimento exponencial para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia em um sistema oscilatório que está sofrendo decaimento pode ser descrita pela fórmula:
Aqui:
-
é a energia no tempo , -
é a energia inicial, -
é o tempo de decaimento que queremos encontrar.
Passo 3
Sabemos que após 4,00 segundos, a energia é metade da inicial. Então, podemos escrever:
Substituindo
na equação:
Passo 4
Para resolver essa equação para
, vamos usar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Podemos simplificar os sinais negativos:
Agora, isolamos
:
Passo 6
Calculando o valor numérico:
Sabemos que
.
Então:
Resposta
O tempo de decaimento é aproximadamente
.