Quando um pêndulo (simples ou físico ou de torção) ou um bloco preso a uma mola (horizontal ou vertical), etc., oscila com frequência de 262 Hz , ele perde metade de sua energia após 4,00 s. Qual é o tempo de decaimento,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema oscilatório, como um pêndulo ou um bloco na mola, que está oscilando com uma frequência de 262 Hz. Além disso, diz que a energia desse sistema perde metade do seu valor após 4,00 segundos. Nosso objetivo aqui é encontrar o tempo de decaimento, representado por .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como a energia em sistemas oscilatórios decai ao longo do tempo, geralmente de forma exponencial. Vamos usar algumas fórmulas básicas de decaimento exponencial para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia em um sistema oscilatório que está sofrendo decaimento pode ser descrita pela fórmula:
Aqui:
  • é a energia no tempo ,
  • é a energia inicial,
  • é o tempo de decaimento que queremos encontrar.

Passo 3

Sabemos que após 4,00 segundos, a energia é metade da inicial. Então, podemos escrever:
Substituindo na equação:

Passo 4

Para resolver essa equação para , vamos usar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados:
Sabemos que , então:

Passo 5

Podemos simplificar os sinais negativos:
Agora, isolamos :

Passo 6

Calculando o valor numérico:
Sabemos que .
Então:

Resposta

O tempo de decaimento é aproximadamente .

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