Quando a tecla do dó central do piano (freqüência de 262 Hz ) é tocada, ela perde metade de sua energia após 4,00 s. Considere que a tecla passe a ser tocada com uma força senoidal de frequência angular omega e amplitude F0 constantes. Que faixa de frequências omega será capaz de manter o sistema na região de ressonância? Aproximadamente quantas vezes por segundo uma pessoa precisaria bater na tecla para manter o sistema em ressonância?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma tecla de dó central de piano que vibra com uma frequência de 262 Hz. Essa tecla perde metade da energia em 4 segundos. A pergunta quer saber quais frequências angulares vão manter o sistema na região de ressonância e quantas vezes por segundo uma pessoa precisaria bater na tecla para manter essa ressonância. Vamos precisar usar conceitos de física de oscilações forçadas e ressonância, além de entender como a energia se dissipa nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a perda de energia com o coeficiente de amortecimento. A energia E(t) = E0 e^-2gamma t de um sistema oscilatório com amortecimento decai exponencialmente conforme:
E(4)E0 = 12 = e^-2gamma cdot 4
Onde:
  • é a energia inicial,
  • é o coeficiente de amortecimento,
  • é o tempo.
Sabemos que a energia é reduzida pela metade em 4 segundos, então:

Passo 3

Vamos resolver para ln(12) = -2gamma cdot 4 - ln 2 = -8gamma gamma = ln 28 :
gamma approx 0,6938 approx 0,0866, s^-1
Calculando:

Passo 4

Agora, a condição para ressonância ocorre quando a frequência de força aplicada omega0 - gamma <= omega <= omega0 + gamma está dentro de uma faixa próxima à frequência natural do sistema , determinada pelo amortecimento. A largura da faixa de ressonância é aproximadamente .
A faixa de frequências sera:

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a frequência angular natural f0 = 262, Hz omega0 = 2pi f0 = 2pi times 262 approx 1648, rad/s :

Passo 6

Com 1648 - 0,0866 <= omega <= 1648 + 0,0866 1647,9134, rad/s <= omega <= 1648,0866, rad/s , a faixa de ressonância é:

Passo 7

Agora, para saber quantas vezes por segundo uma pessoa precisaria bater na tecla para manter a ressonância, precisamos converter a frequência angular 0,08662pi approx 0,0138, Hz de volta para frequência 262 - 0,0138 <= f <= 262 + 0,0138 261,9862, Hz <= f <= 262,0138, Hz em Hz. A frequência está na faixa de a .
Calculando :
Ent��o, a frequência está entre:

Resposta

A faixa de frequências angulares que mantém o sistema na região de ressonância está entre aproximadamente e . Para manter a ressonância, uma pessoa precisaria bater na tecla cerca de vezes por segundo.

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