Quando a tecla do dó central do piano (freqüência de 262 Hz ) é tocada, ela perde metade de sua energia após
. Considere que a tecla passe a ser tocada com uma força senoidal de frequência angular
e amplitude
constantes. Que faixa de frequências
será capaz de manter o sistema na região de ressonância? Aproximadamente quantas vezes por segundo uma pessoa precisaria bater na tecla para manter o sistema em ressonância?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma tecla de dó central de piano que vibra com uma frequência de 262 Hz. Essa tecla perde metade da energia em 4 segundos. A pergunta quer saber quais frequências angulares
vão manter o sistema na região de ressonância e quantas vezes por segundo uma pessoa precisaria bater na tecla para manter essa ressonância. Vamos precisar usar conceitos de física de oscilações forçadas e ressonância, além de entender como a energia se dissipa nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar a perda de energia com o coeficiente de amortecimento. A energia
de um sistema oscilatório com amortecimento decai exponencialmente conforme:
Onde:
-
é a energia inicial, -
é o coeficiente de amortecimento, -
é o tempo.
Sabemos que a energia é reduzida pela metade em 4 segundos, então:
Passo 3
Vamos resolver para
:
Calculando:
Passo 4
Agora, a condição para ressonância ocorre quando a frequência de força aplicada
está dentro de uma faixa próxima à frequência natural do sistema
, determinada pelo amortecimento. A largura da faixa de ressonância é aproximadamente
.
A faixa de frequências sera:
Passo 5
Primeiro, vamos calcular a frequência angular natural
:
Passo 6
Com
, a faixa de ressonância é:
Passo 7
Agora, para saber quantas vezes por segundo uma pessoa precisaria bater na tecla para manter a ressonância, precisamos converter a frequência angular
de volta para frequência
em Hz. A frequência está na faixa de
a
.
Calculando
:
Ent��o, a frequência
está entre:
Resposta
A faixa de frequências angulares
que mantém o sistema na região de ressonância está entre aproximadamente
e
. Para manter a ressonância, uma pessoa precisaria bater na tecla cerca de
vezes por segundo.
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Quando a tecla do dó central do piano (freqüência de 262 Hz ) é tocada, ela perde metade de sua energia após
. Qual é a perda relativa de energia por ciclo?
Quando a tecla do dó central do piano (freqüência de 262 Hz ) é tocada, ela perde metade de sua energia após
. Qual é o tempo de decaimento,
Quando um pêndulo (simples ou físico ou de torção) ou um bloco preso a uma mola (horizontal ou vertical), etc., oscila com frequência de 262 Hz , ele perde metade de sua energia após 4,00 s. Qual é o tempo de decaimento,
Quando um pêndulo (simples ou físico ou de torção) ou um bloco preso a uma mola (horizontal ou vertical), etc., oscila com frequência de 262 Hz , ele perde metade de sua energia após 4,00 s. Qual é o fator
para esta corda do piano?