Quando a tecla do dó central do piano (freqüência de 262 Hz ) é tocada, ela perde metade de sua energia após . Considere que a tecla passe a ser tocada com uma força senoidal de frequência angular e amplitude constantes. Que faixa de frequências será capaz de manter o sistema na região de ressonância? Aproximadamente quantas vezes por segundo uma pessoa precisaria bater na tecla para manter o sistema em ressonância?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma tecla de dó central de piano que vibra com uma frequência de 262 Hz. Essa tecla perde metade da energia em 4 segundos. A pergunta quer saber quais frequências angulares vão manter o sistema na região de ressonância e quantas vezes por segundo uma pessoa precisaria bater na tecla para manter essa ressonância. Vamos precisar usar conceitos de física de oscilações forçadas e ressonância, além de entender como a energia se dissipa nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a perda de energia com o coeficiente de amortecimento. A energia de um sistema oscilatório com amortecimento decai exponencialmente conforme:
Onde:
  • é a energia inicial,
  • é o coeficiente de amortecimento,
  • é o tempo.
Sabemos que a energia é reduzida pela metade em 4 segundos, então:

Passo 3

Vamos resolver para :
Calculando:

Passo 4

Agora, a condição para ressonância ocorre quando a frequência de força aplicada está dentro de uma faixa próxima à frequência natural do sistema , determinada pelo amortecimento. A largura da faixa de ressonância é aproximadamente .
A faixa de frequências sera:

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a frequência angular natural :

Passo 6

Com , a faixa de ressonância é:

Passo 7

Agora, para saber quantas vezes por segundo uma pessoa precisaria bater na tecla para manter a ressonância, precisamos converter a frequência angular de volta para frequência em Hz. A frequência está na faixa de a .
Calculando :
Ent��o, a frequência está entre:

Resposta

A faixa de frequências angulares que mantém o sistema na região de ressonância está entre aproximadamente e . Para manter a ressonância, uma pessoa precisaria bater na tecla cerca de vezes por segundo.

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