Um pêndulo simples de massa m e comprimento l é solto de uma posição tal que sua corda faz um ângulo com a vertical.
© Qual a sua energia cinética ao chegar no ponto mais baixo da trajetória?
© Qual a sua energia cinética ao chegar no ponto mais baixo da trajetória?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente tem um pêndulo simples com uma massa $ m $ e comprimento $ l $. Ele é solto de uma posição onde a corda faz um ângulo com a vertical. O que a gente precisa descobrir é qual é a energia cinética do pêndulo quando ele chega no ponto mais baixo da trajetória. Vamos precisar usar conceitos de energia potencial gravitacional e energia cinética, e entender como elas se transformam umas nas outras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando o pêndulo está na posição inicial, aquele ângulo que a corda faz com a vertical significa que o pêndulo está mais alto. Nesse ponto, ele possui energia potencial gravitacional ($ U
K $), já que ele começa a partir do repouso.
A energia potencial gravitacional é dada por:
Onde:
- $ m $ é a massa do pêndulo,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ h $ é a altura em relação ao ponto mais baixo.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma expressão para $ h $, a altura que o pêndulo ganha quando está no ângulo inicial. Se a corda do pêndulo faz um ângulo $ \theta $ com a vertical, a altura $ h $ pode ser calculada usando trigonometria:
Onde:
- $ l $ é o comprimento da corda,
- $ \theta $ é o ângulo com a vertical.
Passo 4
Substituindo $ h $ na fórmula da energia potencial, temos:
Isso representa a energia potencial inicial do pêndulo.
Passo 5
De acordo com o Princípio da Conservação da Energia, a energia total do sistema permanece constante se não houver perdas (como atrito). Então, toda a energia potencial inicial será convertida em energia cinética quando o pêndulo chega no ponto mais baixo.
Portanto, a energia cinética $ K $ no ponto mais baixo será igual à energia potencial inicial:
Resposta
A energia cinética do pêndulo no ponto mais baixo da trajetória é dada por: