Uma pequena esfera cuja massa é de 1,12 mg tem uma carga q=19,7 nC. A esfera pende no campo gravitacional da Terra de uma linha de seda, fazendo um ângulo theta=27,4^circ com uma lâmina grande, não-condutora e uniformemente carregada, indicada na Fig. 27-32. Calcule a densidade de carga uniforme sigma para a lâmina.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma pequena esfera com massa de 1,12 , mg e carga elétrica de 19,7 , nC. Ela está pendurada por uma linha de seda, formando um ângulo de 27,4^circ com uma placa grande e não-condutora que está uniformemente carregada. Nosso objetivo é calcular a densidade de carga sigma dessa placa. Vamos usar conceitos de equilíbrio de forças e campo elétrico para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na esfera. Existem duas forças principais:
  1. Força gravitacional ( Fg): É a força puxando a esfera para baixo, calculada por Fg = m cdot g, onde m é a massa e g é a aceleração da gravidade ( 9,81 , m/s^2).
  2. Força elétrica ( Fe): É a força causada pelo campo elétrico da placa que puxa ou empurra a esfera, calculada por Fe = q cdot E, onde q é a carga da esfera e E é o campo elétrico gerado pela placa.
A esfera está em equilíbrio, então a resultante dessas forças é zero. Isso significa que a soma das forças na direção vertical e horizontal deve ser zero.

Passo 3

Vamos decompor as forças nas direções horizontal e vertical:
  • Vertical ( y): A componente da força na direção vertical é a força gravitacional, que deve ser equilibrada pela tensão na linha de seda.
  • Horizontal ( x): A componente da força na direção horizontal é a força elétrica, balanceada pela componente horizontal da tensão.
Usando trigonometria, podemos relacionar essas componentes:
T cdot cos(theta) = Fg = m cdot g
T cdot sin(theta) = Fe = q cdot E
Dividindo a segunda equação pela primeira, temos:
T cdot sin(theta)T cdot cos(theta) = q cdot Em cdot g
tan(theta) = q cdot Em cdot g

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o campo elétrico E gerado pela placa carregada. Para uma placa infinitamente grande e uniformemente carregada, o campo elétrico é dado por:
E = sigma2 varepsilon0
Onde:
  • sigma é a densidade de carga superficial da placa.
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo, aproximadamente 8,85 times 10^-12 , C^2/N cdot m^2.

Passo 5

Vamos substituir E na equação do Passo 3:
tan(theta) = q cdot (sigma2 varepsilon0)m cdot g
Agora, isolamos sigma para encontrarmos a densidade de carga:
sigma = 2 varepsilon0 m g tan(theta)q

Passo 6

Vamos agora substituir os valores conhecidos na equação:
Dados:
  • Massa m = 1,12 , mg = 1,12 times 10^-6 , kg
  • Carga q = 19,7 , nC = 19,7 times 10^-9 , C
  • Ângulo theta = 27,4^circ
  • g = 9,81 , m/s^2
  • varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 , C^2/N cdot m^2
Calculando tan(theta):
tan(27,4^circ) approx 0,523
Substituindo na equação:
sigma = 2 times 8,85 times 10^-12 times 1,12 times 10^-6 times 9,81 times 0,52319,7 times 10^-9

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores:
Primeiro, calculamos o numerador:
2 times 8,85 times 10^-12 times 1,12 times 10^-6 times 9,81 times 0,523 approx 9,66 times 10^-17
Em seguida, dividimos pelo denominador:
sigma = 9,66 times 10^-1719,7 times 10^-9 approx 4,90 times 10^-9 , C/m^2

Resposta

A densidade de carga uniforme da lâmina é aproximadamente sigma = 4,90 times 10^-9 , C/m^2.

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