Uma pequena esfera cuja massa é de
tem uma carga
. A esfera pende no campo gravitacional da Terra de uma linha de seda, fazendo um ângulo
com uma lâmina grande, não-condutora e uniformemente carregada, indicada na Fig. 27-32. Calcule a densidade de carga uniforme
para a lâmina.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma pequena esfera com massa de
e carga elétrica de
. Ela está pendurada por uma linha de seda, formando um ângulo de
com uma placa grande e não-condutora que está uniformemente carregada. Nosso objetivo é calcular a densidade de carga
dessa placa. Vamos usar conceitos de equilíbrio de forças e campo elétrico para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na esfera. Existem duas forças principais:
-
Força gravitacional (
): É a força puxando a esfera para baixo, calculada por , onde é a massa e é a aceleração da gravidade ( ). -
Força elétrica (
): É a força causada pelo campo elétrico da placa que puxa ou empurra a esfera, calculada por , onde é a carga da esfera e é o campo elétrico gerado pela placa.
A esfera está em equilíbrio, então a resultante dessas forças é zero. Isso significa que a soma das forças na direção vertical e horizontal deve ser zero.
Passo 3
Vamos decompor as forças nas direções horizontal e vertical:
-
Vertical (
): A componente da força na direção vertical é a força gravitacional, que deve ser equilibrada pela tensão na linha de seda. -
Horizontal (
): A componente da força na direção horizontal é a força elétrica, balanceada pela componente horizontal da tensão.
Usando trigonometria, podemos relacionar essas componentes:
Dividindo a segunda equação pela primeira, temos:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o campo elétrico
gerado pela placa carregada. Para uma placa infinitamente grande e uniformemente carregada, o campo elétrico é dado por:
Onde:
-
é a densidade de carga superficial da placa. -
é a permissividade do vácuo, aproximadamente .
Passo 5
Vamos substituir
na equação do Passo 3:
Agora, isolamos
para encontrarmos a densidade de carga:
Passo 6
Vamos agora substituir os valores conhecidos na equação:
Dados:
- Massa
- Carga
- Ângulo
-
-
Calculando
:
Substituindo na equação:
Passo 7
Agora, vamos calcular os valores:
Primeiro, calculamos o numerador:
Em seguida, dividimos pelo denominador:
Resposta
A densidade de carga uniforme da lâmina é aproximadamente
.