Resolva a equação diferencial dada pelo método da variação dos parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método da variação dos parâmetros. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois aplicar a variação dos parâmetros para achar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando as raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica é
. Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Aqui, temos uma raiz dupla
.
Passo 4
Com a raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método da variação dos parâmetros. Esse método é útil quando a solução da equação homogênea não serve diretamente para a solução particular devido a termos semelhantes no lado direito.
Passo 6
O método da variação dos parâmetros nos diz que a solução particular pode ser escrita como:
Aqui,
e
são as soluções da equação homogênea, e
e
são funções que vamos determinar.
Passo 7
Para encontrar
e
, precisamos resolver o seguinte sistema de equações:
Isso simplifica o cálculo das derivadas e facilita a determinação de
e
.
Passo 8
Calculando as derivadas de
e
:
Passo 9
Substituindo essas derivadas no sistema:
Podemos dividir todo o sistema por
para simplificar:
Passo 10
Resolvendo o sistema para
e
:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 11
Agora, integramos
e
para encontrar
e
:
A integral de
pode ser resolvida por partes:
Ignoramos a constante de integração, já que ela será absorvida na solução geral.
Passo 12
Agora, substituímos
e
na expressão da solução particular:
Simplificando:
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.