Resolva a equação diferencial dada pelo método da variação dos parâmetros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois aplicar a variação dos parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é . Resolvendo essa equação quadrática, temos: Aqui, temos uma raiz dupla .

Passo 4

Com a raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é: Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Esse método é útil quando a solução da equação homogênea não serve diretamente para a solução particular devido a termos semelhantes no lado direito.

Passo 6

O método da variação dos parâmetros nos diz que a solução particular pode ser escrita como: Aqui, e são as soluções da equação homogênea, e e são funções que vamos determinar.

Passo 7

Para encontrar e , precisamos resolver o seguinte sistema de equações: Isso simplifica o cálculo das derivadas e facilita a determinação de e .

Passo 8

Calculando as derivadas de e :

Passo 9

Substituindo essas derivadas no sistema: Podemos dividir todo o sistema por para simplificar:

Passo 10

Resolvendo o sistema para e : Da primeira equação: Substituindo na segunda equação: Então,

Passo 11

Agora, integramos e para encontrar e : A integral de pode ser resolvida por partes: Ignoramos a constante de integração, já que ela será absorvida na solução geral.

Passo 12

Agora, substituímos e na expressão da solução particular: Simplificando:

Passo 13

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é: Onde e são constantes arbitrárias.

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