Resolva a equação diferencial dada pelo método da variação dos parâmetros.
y^prime prime+2 y^prime+y=e^-x ln x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e depois aplicar a variação dos parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando as raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica é r = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot 12 cdot 1 = -2 pm 02 = -1 . Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Aqui, temos uma raiz dupla .

Passo 4

Com a raiz dupla yh = (C1 + C2 x) e^-x , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação dos parâmetros. Esse método é útil quando a solução da equação homogênea não serve diretamente para a solução particular devido a termos semelhantes no lado direito.

Passo 6

O método da variação dos parâmetros nos diz que a solução particular pode ser escrita como:
yp = u1 y1 + u2 y2
Aqui, e são as soluções da equação homogênea, e e são funções que vamos determinar.

Passo 7

Para encontrar u1' y1 + u2' y2 = 0 u1' y1' + u2' y2' = e^-x ln x e , precisamos resolver o seguinte sistema de equações:
Isso simplifica o cálculo das derivadas e facilita a determinação de e .

Passo 8

Calculando as derivadas de y1 = e^-x Rightarrow y1' = -e^-x e y2 = x e^-x Rightarrow y2' = e^-x (1 - x) :

Passo 9

Substituindo essas derivadas no sistema:
u1' e^-x + u2' x e^-x = 0 u1' (-e^-x) + u2' e^-x (1 - x) = e^-x ln x
Podemos dividir todo o sistema por u1' + u2' x = 0 - u1' + u2' (1 - x) = ln x para simplificar:

Passo 10

Resolvendo o sistema para - (-u2' x) + u2' (1 - x) = ln x Rightarrow u2' (x + 1 - x) = ln x Rightarrow u2' = ln x e :
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 11

Agora, integramos u2 = integral ln x , dx = x ln x - x + C e u1 = integral -x ln x , dx para encontrar integral -x ln x , dx = -( x^22 ln x - x^24 ) + C = -x^22 ln x + x^24 + C e :
A integral de pode ser resolvida por partes:
Ignoramos a constante de integração, já que ela será absorvida na solução geral.

Passo 12

Agora, substituímos yp = u1 y1 + u2 y2 = ( -x^22 ln x + x^24 ) e^-x + (x ln x - x) x e^-x e yp = ( -x^22 ln x + x^24 + x^2 ln x - x^2 ) e^-x = ( x^22 ln x - 3x^24 ) e^-x na expressão da solução particular:
Simplificando:

Passo 13

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y = yh + yp = (C1 + C2 x) e^-x + ( x^22 ln x - 3x^24 ) e^-x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = (C1 + C2 x) e^-x + ( x^22 ln x - 3x^24 ) e^-x
Onde e são constantes arbitrárias.

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