Um pequeno objeto linear, de comprimento L, está colocado horizontalmente, ao longo do eixo de um espelho esférico a uma distância o do espelho. (a) Mostre que sua imagem tem um comprimento L^prime=L f^2 /(o-f)^2. (b) Mostre que a amplificação longitudinal m^prime(=L^prime / L) é igual a m^2, onde m é a amplificação transversal. Sugestão: L ll 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de óptica! Aqui a gente tem um objeto pequeno, de comprimento , colocando ao longo do eixo de um espelho esférico, a uma distância do espelho. O que precisamos usar aqui são conceitos de formação de imagem por espelhos esféricos, principalmente as fórmulas de ampliação e a relação entre distância do objeto, da imagem e a distância focal.

Passo 2

Primeiro, lembrando a fórmula do espelho esférico, que relaciona a distância do objeto 1f = 1o + 1i , a distância da imagem 1i = 1f - 1o = o - ff cdot o e a distância focal i = f cdot oo - f :
Vamos isolar para encontrar a distância da imagem em termos de e :

Passo 3

Agora, a ampliação transversal m = -io é dada por:
m = -f cdot oo - fo = -fo - f
Substituindo da etapa anterior:

Passo 4

A ampliação longitudinal m' = L'L é a relação entre o comprimento da imagem e o comprimento do objeto :
Queremos mostrar que , ou seja, .

Passo 5

Assumindo que o objeto é pequeno ( m' = (fo - f)^2 ), podemos considerar as deformações lineares. A ampliação longitudinal está relacionada à atração gravitacional da imagem, e pode ser expressa como:
Isso vem da combinação das ampliações nas direções transversal e longitudinal, onde cada uma contribui com um fator de .

Passo 6

Substituindo os valores, temos:
L' = L cdot m' = L cdot (fo - f)^2 = L cdot f^2(o - f)^2

Resposta

A imagem do objeto tem comprimento e a ampliação longitudinal , onde é a ampliação transversal.

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