Um pequeno objeto linear, de comprimento , está colocado horizontalmente, ao longo do eixo de um espelho esférico a uma distância do espelho. (a) Mostre que sua imagem tem um comprimento . (b) Mostre que a amplificação longitudinal é igual a , onde é a amplificação transversal. Sugestão: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de óptica! Aqui a gente tem um objeto pequeno, de comprimento , colocando ao longo do eixo de um espelho esférico, a uma distância do espelho. O que precisamos usar aqui são conceitos de formação de imagem por espelhos esféricos, principalmente as fórmulas de ampliação e a relação entre distância do objeto, da imagem e a distância focal.

Passo 2

Primeiro, lembrando a fórmula do espelho esférico, que relaciona a distância do objeto , a distância da imagem e a distância focal :
Vamos isolar para encontrar a distância da imagem em termos de e :

Passo 3

Agora, a ampliação transversal é dada por:
Substituindo da etapa anterior:

Passo 4

A ampliação longitudinal é a relação entre o comprimento da imagem e o comprimento do objeto :
Queremos mostrar que , ou seja, .

Passo 5

Assumindo que o objeto é pequeno ( ), podemos considerar as deformações lineares. A ampliação longitudinal está relacionada à atração gravitacional da imagem, e pode ser expressa como:
Isso vem da combinação das ampliações nas direções transversal e longitudinal, onde cada uma contribui com um fator de .

Passo 6

Substituindo os valores, temos:

Resposta

A imagem do objeto tem comprimento e a ampliação longitudinal , onde é a ampliação transversal.

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