Um pequeno objeto linear, de comprimento
, está colocado horizontalmente, ao longo do eixo de um espelho esférico a uma distância
do espelho. (a) Mostre que sua imagem tem um comprimento
. (b) Mostre que a amplificação longitudinal
é igual a
, onde
é a amplificação transversal. Sugestão:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de óptica! Aqui a gente tem um objeto pequeno, de comprimento
, colocando ao longo do eixo de um espelho esférico, a uma distância
do espelho. O que precisamos usar aqui são conceitos de formação de imagem por espelhos esféricos, principalmente as fórmulas de ampliação e a relação entre distância do objeto, da imagem e a distância focal.
Passo 2
Primeiro, lembrando a fórmula do espelho esférico, que relaciona a distância do objeto
, a distância da imagem
e a distância focal
:
Vamos isolar
para encontrar a distância da imagem em termos de
e
:
Passo 3
Agora, a ampliação transversal
é dada por:
Substituindo
da etapa anterior:
Passo 4
A ampliação longitudinal
é a relação entre o comprimento da imagem
e o comprimento do objeto
:
Queremos mostrar que
, ou seja,
.
Passo 5
Assumindo que o objeto é pequeno (
), podemos considerar as deformações lineares. A ampliação longitudinal está relacionada à atração gravitacional da imagem, e pode ser expressa como:
Isso vem da combinação das ampliações nas direções transversal e longitudinal, onde cada uma contribui com um fator de
.
Passo 6
Substituindo os valores, temos:
Resposta
A imagem do objeto tem comprimento
e a ampliação longitudinal
, onde
é a ampliação transversal.
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