Um raio luminoso incide sobre um cubo de vidro segundo um ângulo
com a normal à superfície horizontal do material. Mostre que o valor mínimo do índice de refração do vidro, para que ocorra reflexão intema total na face vertical, é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um raio de luz que chega num cubo de vidro formando um ângulo
com a normal da superfície horizontal. A matéria aqui envolve refração e reflexão interna total, que são conceitos de óptica. Precisamos descobrir qual é o índice de refração mínimo do vidro para que ocorra a reflexão interna total na face vertical. Vamos precisar usar as leis da refração, especificamente a Lei de Snell, e entender o que é a reflexão interna total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a reflexão interna total. Isso acontece quando a luz passa de um meio mais denso para um menos denso (como vidro para ar) e o ângulo de incidência é maior que o ângulo crítico. O ângulo crítico é aquele em que a luz, ao sair do vidro para o ar, refrata exatamente 90 graus, ou seja, se espalha paralelamente à superfície.
Passo 3
A Lei de Snell nos diz que
, onde
e
são os índices de refração dos meios 1 e 2, e
e
são os ângulos de incidência e refração, respectivamente. Para a reflexão interna total acontecer, o ângulo de refração
precisa ser 90°, então
.
Passo 4
Aplicando a Lei de Snell com
, temos
. Sabemos que o índice de refração do ar é aproximadamente 1, então
. Assim, podemos escrever
.
Passo 5
Agora, precisamos relacionar o ângulo
dado no problema com o ângulo crítico
. Como o raio incide com um ângulo
na superfície horizontal, esse ângulo se relaciona com o ângulo interno no vidro. Vamos considerar que
é o ângulo no interior do vidro que precisamos encontrar.
Passo 6
Utilizando geometria simples, percebemos que o ângulo total no ponto de refração será a soma de
e
. Porém, para simplificar, vamos focar na relação direta através da refração na primeira face onde a luz entra no vidro. Aplicando novamente a Lei de Snell:
, onde
é o ângulo de incidência dentro do vidro.
Passo 7
Queremos que a reflexão interna total ocorra na face vertical, o que significa que
deve ser igual ao ângulo crítico
. Então, substituindo na equação anterior:
.
Passo 8
Relembrando que
, substituímos na equação:
, o que simplifica para
. No entanto, isso não faz sentido, então precisamos revisar nossa abordagem.
Passo 9
Vamos considerar que a relação correta entre os ângulos é através da geometria do cubo. Ao incidir com ângulo
, a luz refratada dentro do vidro forma um triângulo retângulo onde a hipotenusa está relacionada com o índice de refração. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos
.
Passo 10
Finalmente, isolamos
para encontrar o índice mínimo:
.
Resposta
O índice de refração mínimo do vidro é
.