Um raio luminoso incide sobre um cubo de vidro segundo um ângulo com a normal à superfície horizontal do material. Mostre que o valor mínimo do índice de refração do vidro, para que ocorra reflexão intema total na face vertical, é

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um raio de luz que chega num cubo de vidro formando um ângulo com a normal da superfície horizontal. A matéria aqui envolve refração e reflexão interna total, que são conceitos de óptica. Precisamos descobrir qual é o índice de refração mínimo do vidro para que ocorra a reflexão interna total na face vertical. Vamos precisar usar as leis da refração, especificamente a Lei de Snell, e entender o que é a reflexão interna total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a reflexão interna total. Isso acontece quando a luz passa de um meio mais denso para um menos denso (como vidro para ar) e o ângulo de incidência é maior que o ângulo crítico. O ângulo crítico é aquele em que a luz, ao sair do vidro para o ar, refrata exatamente 90 graus, ou seja, se espalha paralelamente à superfície.

Passo 3

A Lei de Snell nos diz que , onde e são os índices de refração dos meios 1 e 2, e e são os ângulos de incidência e refração, respectivamente. Para a reflexão interna total acontecer, o ângulo de refração precisa ser 90°, então .

Passo 4

Aplicando a Lei de Snell com , temos . Sabemos que o índice de refração do ar é aproximadamente 1, então . Assim, podemos escrever .

Passo 5

Agora, precisamos relacionar o ângulo dado no problema com o ângulo crítico . Como o raio incide com um ângulo na superfície horizontal, esse ângulo se relaciona com o ângulo interno no vidro. Vamos considerar que é o ângulo no interior do vidro que precisamos encontrar.

Passo 6

Utilizando geometria simples, percebemos que o ângulo total no ponto de refração será a soma de e . Porém, para simplificar, vamos focar na relação direta através da refração na primeira face onde a luz entra no vidro. Aplicando novamente a Lei de Snell: , onde é o ângulo de incidência dentro do vidro.

Passo 7

Queremos que a reflexão interna total ocorra na face vertical, o que significa que deve ser igual ao ângulo crítico . Então, substituindo na equação anterior: .

Passo 8

Relembrando que , substituímos na equação: , o que simplifica para . No entanto, isso não faz sentido, então precisamos revisar nossa abordagem.

Passo 9

Vamos considerar que a relação correta entre os ângulos é através da geometria do cubo. Ao incidir com ângulo , a luz refratada dentro do vidro forma um triângulo retângulo onde a hipotenusa está relacionada com o índice de refração. Aplicando o teorema de Pitágoras, temos .

Passo 10

Finalmente, isolamos para encontrar o índice mínimo: .

Resposta

O índice de refração mínimo do vidro é .

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