Um pequeno objeto de massa
está preso na extremidade de um fio muito fino de comprimento
. Em vez de oscilar para frente e para trás, a massa se move em um círculo horizontal com velocidade escalar
constante e o fio faz um ângulo
constante com a vertical (Fig. 10). Este arranjo é conhecido como pêndulo cônico. Supondo que o período
seja conhecido, ache a tensão
no fio e o ângulo
. Resp:
e
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos um pêndulo cônico, que é um objeto com massa
preso a um fio de comprimento
. Em vez de oscilar para frente e para trás, o objeto está se movendo em um círculo horizontal com velocidade constante
, fazendo um ângulo
com a vertical. Sabemos o período
desse movimento e precisamos encontrar a tensão
no fio e o ângulo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de movimento circular e decomposição de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no objeto. Há duas forças principais:
- A força gravitacional (
) que puxa o objeto para baixo. - A tensão (
) no fio, que tem componentes tanto na vertical quanto na horizontal.
Passo 3
Agora, vamos decompor a tensão
nas suas componentes:
- A componente vertical:
, que equilibra a força gravitacional. - A componente horizontal:
, que provê a força centrípeta necessária para o movimento circular.
Passo 4
Para a parte vertical, temos o equilíbrio das forças:
Isso nos diz que a componente vertical da tensão equilibra o peso do objeto.
Passo 5
Para a parte horizontal, a força centrípeta é dada por:
Aqui,
é a velocidade do objeto e
é o comprimento do fio, que também é o raio do círculo.
Passo 6
Sabemos que o período
está relacionado à velocidade
pela fórmula:
Vamos usar isso para substituir
na equação da força centrípeta.
Passo 7
Substituindo
na equação da força centrípeta:
Agora, usando a relação da componente vertical
, podemos dividir as duas equações para encontrar
:
Resposta
As expressões para a tensão no fio e o ângulo são:
e