Um pequeno objeto de massa está preso na extremidade de um fio muito fino de comprimento . Em vez de oscilar para frente e para trás, a massa se move em um círculo horizontal com velocidade escalar constante e o fio faz um ângulo constante com a vertical (Fig. 10). Este arranjo é conhecido como pêndulo cônico. Supondo que o período seja conhecido, ache a tensão no fio e o ângulo . Resp: e .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos um pêndulo cônico, que é um objeto com massa preso a um fio de comprimento . Em vez de oscilar para frente e para trás, o objeto está se movendo em um círculo horizontal com velocidade constante , fazendo um ângulo com a vertical. Sabemos o período desse movimento e precisamos encontrar a tensão no fio e o ângulo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de movimento circular e decomposição de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no objeto. Há duas forças principais:
  1. A força gravitacional ( ) que puxa o objeto para baixo.
  2. A tensão ( ) no fio, que tem componentes tanto na vertical quanto na horizontal.

Passo 3

Agora, vamos decompor a tensão nas suas componentes:
  • A componente vertical: , que equilibra a força gravitacional.
  • A componente horizontal: , que provê a força centrípeta necessária para o movimento circular.

Passo 4

Para a parte vertical, temos o equilíbrio das forças:
Isso nos diz que a componente vertical da tensão equilibra o peso do objeto.

Passo 5

Para a parte horizontal, a força centrípeta é dada por:
Aqui, é a velocidade do objeto e é o comprimento do fio, que também é o raio do círculo.

Passo 6

Sabemos que o período está relacionado à velocidade pela fórmula:
Vamos usar isso para substituir na equação da força centrípeta.

Passo 7

Substituindo na equação da força centrípeta:
Agora, usando a relação da componente vertical , podemos dividir as duas equações para encontrar :

Resposta

As expressões para a tensão no fio e o ângulo são:
e

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