Um pequeno objeto de massa m está preso na extremidade de um fio muito fino de comprimento L. Em vez de oscilar para frente e para trás, a massa se move em um círculo horizontal com velocidade escalar v constante e o fio faz um ângulo beta constante com a vertical (Fig. 10). Este arranjo é conhecido como pêndulo cônico. Supondo que o período T seja conhecido, ache a tensão F no fio e o ângulo beta. Resp: F=4 pi^2 m L / T^2 e beta=arccos (g T^2 / 4 pi^2 L).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos um pêndulo cônico, que é um objeto com massa m preso a um fio de comprimento L. Em vez de oscilar para frente e para trás, o objeto está se movendo em um círculo horizontal com velocidade constante v, fazendo um ângulo beta com a vertical. Sabemos o período T desse movimento e precisamos encontrar a tensão F no fio e o ângulo beta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica de movimento circular e decomposição de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam no objeto. Há duas forças principais:
  1. A força gravitacional ( mg) que puxa o objeto para baixo.
  2. A tensão ( F) no fio, que tem componentes tanto na vertical quanto na horizontal.

Passo 3

Agora, vamos decompor a tensão F nas suas componentes:
  • A componente vertical: F cosbeta, que equilibra a força gravitacional.
  • A componente horizontal: F sinbeta, que provê a força centrípeta necessária para o movimento circular.

Passo 4

Para a parte vertical, temos o equilíbrio das forças:
F cosbeta = mg
Isso nos diz que a componente vertical da tensão equilibra o peso do objeto.

Passo 5

Para a parte horizontal, a força centrípeta é dada por:
F sinbeta = m v^2L
Aqui, v é a velocidade do objeto e L é o comprimento do fio, que também é o raio do círculo.

Passo 6

Sabemos que o período T está relacionado à velocidade v pela fórmula:
v = 2pi LT
Vamos usar isso para substituir v na equação da força centrípeta.

Passo 7

Substituindo v na equação da força centrípeta:
F sinbeta = m (2pi LT)^2L = m 4pi^2 LT^2
Agora, usando a relação da componente vertical F cosbeta = mg, podemos dividir as duas equações para encontrar tanbeta:
tanbeta = F sinbetaF cosbeta = 4pi^2 Lg T^2

Resposta

As expressões para a tensão no fio e o ângulo são:
F = 4 pi^2 m LT^2
e
beta = arccos(g T^24 pi^2 L)

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