(UERJ) A distância entre duas estações de metrô é igual a
. Partindo do repouso na primeira estação, um trem deve chegar à segunda estação em um intervalo de tempo de três minutos. O trem acelera com uma taxa constante até atingir sua velocidade máxima no trajeto, igual a
. Permanece com essa velocidade por um certo tempo. Em seguida, desacelera com a mesma taxa anterior até parar na segunda estação.
a) Calcule a velocidade média do trem, em metros por segundo.
b) Esboce o gráfico velocidade
tempo e calcule o tempo gasto para alcançar a velocidade máxima, em segundos.
a) Calcule a velocidade média do trem, em metros por segundo.
b) Esboce o gráfico velocidade
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas estações de metrô separadas por 2,52 km. Um trem parte do repouso da primeira estação e precisa chegar na segunda em 3 minutos. Ele acelera até atingir uma velocidade máxima de 16 m/s, mantém essa velocidade por um tempo e depois desacelera até parar na segunda estação.
Para resolver as partes a) e b), vamos precisar de conceitos de cinemática, como velocidade média, aceleração, e considerações sobre movimento uniformemente acelerado e desacelerado.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional. A distância entre as estações é de 2,52 km, o que equivale a 2520 metros. O tempo total disponível é de 3 minutos, ou seja, 180 segundos.
Passo 3
Parte a) Calcular a velocidade média do trem.
A velocidade média (
) é calculada dividindo a distância total percorrida pelo tempo total gasto. A fórmula é:
Onde:
-
é a distância em metros. -
é o tempo em segundos.
Passo 4
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos para a parte b). Precisamos esboçar o gráfico de velocidade em função do tempo e calcular quanto tempo o trem leva para alcançar a velocidade máxima de 16 m/s.
Para isso, vamos utilizar conceitos de movimento uniformemente acelerado e cinemática.
Passo 6
O trem acelera de 0 a 16 m/s, mantém essa velocidade e depois desacelera de 16 m/s a 0. Vamos chamar o tempo de aceleração de
, o tempo de manutenção da velocidade de
e o tempo de desaceleração de
.
Como a aceleração e a desaceleração são de mesma magnitude, temos
.
O tempo total é:
Ou seja:
Passo 7
Vamos calcular a aceleração
durante o período de aceleração:
Usando a fórmula da velocidade final em movimento uniformemente acelerado:
Onde:
Então:
Passo 8
A distância percorrida durante a aceleração (
) é:
Similarmente, a distância durante a desaceleração (
) é também
.
A distância durante a manutenção da velocidade (
) é:
Passo 9
Somando todas as distâncias:
Substituindo os valores:
Dividindo por 16:
E sabemos que:
Passo 10
Agora, temos um sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Passo 11
Portanto, o tempo para acelerar até a velocidade máxima é de 22,5 segundos.
Passo 12
Esboço do gráfico velocidade x tempo:
- Aceleração: do 0 ao 22,5 s, a velocidade aumenta linearmente de 0 a 16 m/s.
- Velocidade constante: dos 22,5 s até
. Calculando , então até 157,5 s. - Desaceleração: dos 157,5 s até 180 s, a velocidade diminui linearmente de 16 m/s a 0.
O gráfico será uma forma de trapezoide, subindo linearmente, mantendo constante e depois descendo linearmente.
Passo 13
Para resumir:
- Aceleração: 0 a 22,5 s
- Velocidade constante: 22,5 s a 157,5 s
- Desaceleração: 157,5 s a 180 s
Resposta
a) A velocidade média do trem é de 14 m/s.
b) O tempo gasto para alcançar a velocidade máxima é de 22,5 s e o gráfico velocidade x tempo apresenta uma subida linear até 22,5 s, uma plateau constante até 157,5 s e uma descida linear até 180 s.