(UERJ) A distância entre duas estações de metrô é igual a . Partindo do repouso na primeira estação, um trem deve chegar à segunda estação em um intervalo de tempo de três minutos. O trem acelera com uma taxa constante até atingir sua velocidade máxima no trajeto, igual a . Permanece com essa velocidade por um certo tempo. Em seguida, desacelera com a mesma taxa anterior até parar na segunda estação.
a) Calcule a velocidade média do trem, em metros por segundo.
b) Esboce o gráfico velocidade tempo e calcule o tempo gasto para alcançar a velocidade máxima, em segundos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas estações de metrô separadas por 2,52 km. Um trem parte do repouso da primeira estação e precisa chegar na segunda em 3 minutos. Ele acelera até atingir uma velocidade máxima de 16 m/s, mantém essa velocidade por um tempo e depois desacelera até parar na segunda estação.
Para resolver as partes a) e b), vamos precisar de conceitos de cinemática, como velocidade média, aceleração, e considerações sobre movimento uniformemente acelerado e desacelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional. A distância entre as estações é de 2,52 km, o que equivale a 2520 metros. O tempo total disponível é de 3 minutos, ou seja, 180 segundos.

Passo 3

Parte a) Calcular a velocidade média do trem.
A velocidade média ( ) é calculada dividindo a distância total percorrida pelo tempo total gasto. A fórmula é:
Onde:
  • é a distância em metros.
  • é o tempo em segundos.

Passo 4

Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos para a parte b). Precisamos esboçar o gráfico de velocidade em função do tempo e calcular quanto tempo o trem leva para alcançar a velocidade máxima de 16 m/s.
Para isso, vamos utilizar conceitos de movimento uniformemente acelerado e cinemática.

Passo 6

O trem acelera de 0 a 16 m/s, mantém essa velocidade e depois desacelera de 16 m/s a 0. Vamos chamar o tempo de aceleração de , o tempo de manutenção da velocidade de e o tempo de desaceleração de .
Como a aceleração e a desaceleração são de mesma magnitude, temos .
O tempo total é:
Ou seja:

Passo 7

Vamos calcular a aceleração durante o período de aceleração:
Usando a fórmula da velocidade final em movimento uniformemente acelerado:
Onde:
Então:

Passo 8

A distância percorrida durante a aceleração ( ) é:
Similarmente, a distância durante a desaceleração ( ) é também .
A distância durante a manutenção da velocidade ( ) é:

Passo 9

Somando todas as distâncias:
Substituindo os valores:
Dividindo por 16:
E sabemos que:

Passo 10

Agora, temos um sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:

Passo 11

Portanto, o tempo para acelerar até a velocidade máxima é de 22,5 segundos.

Passo 12

Esboço do gráfico velocidade x tempo:
  1. Aceleração: do 0 ao 22,5 s, a velocidade aumenta linearmente de 0 a 16 m/s.
  2. Velocidade constante: dos 22,5 s até . Calculando , então até 157,5 s.
  3. Desaceleração: dos 157,5 s até 180 s, a velocidade diminui linearmente de 16 m/s a 0.
O gráfico será uma forma de trapezoide, subindo linearmente, mantendo constante e depois descendo linearmente.

Passo 13

Para resumir:
  • Aceleração: 0 a 22,5 s
  • Velocidade constante: 22,5 s a 157,5 s
  • Desaceleração: 157,5 s a 180 s

Resposta

a) A velocidade média do trem é de 14 m/s.
b) O tempo gasto para alcançar a velocidade máxima é de 22,5 s e o gráfico velocidade x tempo apresenta uma subida linear até 22,5 s, uma plateau constante até 157,5 s e uma descida linear até 180 s.

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